Equazione della sfera.
Ciao ragazzi aitatemi non so come impostare il problema è urgente.
Grazie in anticipo.
Trovare equazione della sfera passante per i tre punti A(-1;0;-1); B(0;1;-1) ; C(1;3;0), e avente centro sulla retta x=y=0.
Grazie in anticipo.
Trovare equazione della sfera passante per i tre punti A(-1;0;-1); B(0;1;-1) ; C(1;3;0), e avente centro sulla retta x=y=0.
Risposte
Io ho tentato di risolvere, spero che vada bene:
io la retta $r$ la penso cosi:
$x=0$
$y=0$
$z=t$
Dato che il centro sta su questa retta allora il punto ha coordinate del tipo $C=(0,0,-2t)$
La metto nell'equazione della sfera che diventa:
$x^2+y^2+(z-2t)^2=d^2$
ci metto i punti $A$,$B$,$C$
a sistema viene cosi:
$1+(-1-2t)^2=d^2$
$1+(1-2t)^2=d^2$
$1+9+(-2t)^2=d^2$
eguaglio la prima con la terza e mi trovo che
$t=-2$
ora questo valore lo metto in una delle $3$ equazioni e ci faccio il passaggio per un punto per trovarmi $d^2$
$x^2+y^2+(z+4)^2=d^2$
passaggio per $B=(0,1,-1)$
$d^2=10$
ora ho tutto $x^2+y^2+(z+4)^2=d^2$
diventa : $x^2+y^2+(z+4)^2=10$
salvo errori di calcolo verrebbe:
$x^2+y^2+z^2+8z+6=0$
io la retta $r$ la penso cosi:
$x=0$
$y=0$
$z=t$
Dato che il centro sta su questa retta allora il punto ha coordinate del tipo $C=(0,0,-2t)$
La metto nell'equazione della sfera che diventa:
$x^2+y^2+(z-2t)^2=d^2$
ci metto i punti $A$,$B$,$C$
a sistema viene cosi:
$1+(-1-2t)^2=d^2$
$1+(1-2t)^2=d^2$
$1+9+(-2t)^2=d^2$
eguaglio la prima con la terza e mi trovo che
$t=-2$
ora questo valore lo metto in una delle $3$ equazioni e ci faccio il passaggio per un punto per trovarmi $d^2$
$x^2+y^2+(z+4)^2=d^2$
passaggio per $B=(0,1,-1)$
$d^2=10$
ora ho tutto $x^2+y^2+(z+4)^2=d^2$
diventa : $x^2+y^2+(z+4)^2=10$
salvo errori di calcolo verrebbe:
$x^2+y^2+z^2+8z+6=0$
"matematicamentenegato":
Trovare equazione della sfera passante per i tre punti A(-1;0;-1); B(0;1;-1) ; C(1;3;0), e avente centro sulla retta x=y=0.
Ci sono tanti modi per risolvere questo esercizio.
Forse il più semplice è la "forza bruta":
prendiamo la generica equazione della sfera
[tex]x^2+y^2+z^2+a\,x+b\,y+c\,z+d=0[/tex]
e imponiamo il passaggio dai tre punti A, B, C, ottenendo
il fascio di sfere
[tex]x^2+y^2+z^2 + (5 + \lambda)\,x + (-5 - \lambda)\,y + (-3 + \lambda)\,z + 2\,\lambda = 0[/tex]
dove ho posto [tex]\lambda = \dfrac{d}{2}[/tex] ;
ora non resta che imporre l'ultima condizione (centro sulla retta [tex]x=y=0[/tex]),
trovando così [tex]\lambda = -5[/tex] per cui, sostituendo nel fascio si ottiene:
[tex]x^2 + y^2 + z^2 - 8\,z - 10 = 0[/tex] .
Un altro metodo è il seguente:
poiché la sfera ha centro sulla retta [tex]x=y=0[/tex], la sua equazione è
[tex]x^2+y^2+z^2+cz+d=0[/tex]
a questo punto basta imporre il passaggio per i tre punti.
Osservazione: in generale (cioè con altri dati del problema) questo problema non ha soluzione.
L'esercizio che stiamo discutendo è un caso particolare in cui la soluzione esiste ed è unica.
poiché la sfera ha centro sulla retta [tex]x=y=0[/tex], la sua equazione è
[tex]x^2+y^2+z^2+cz+d=0[/tex]
a questo punto basta imporre il passaggio per i tre punti.
Osservazione: in generale (cioè con altri dati del problema) questo problema non ha soluzione.
L'esercizio che stiamo discutendo è un caso particolare in cui la soluzione esiste ed è unica.
Ciao france.d
Chiedo, il mio ragionamento va comunque bene o è troppo lungo?
Chiedo, il mio ragionamento va comunque bene o è troppo lungo?
Hai sbagliato qualche calcolo, per il resto l'impostazione mi sembra ok.
Una cosa, però: io avrei scelto [tex]C=(0,0,t)[/tex].
Un metodo veloce è quello che ho esposto nel mio secondo intervento.
Una cosa, però: io avrei scelto [tex]C=(0,0,t)[/tex].
Un metodo veloce è quello che ho esposto nel mio secondo intervento.
Grazie per aver risposto, mi avete dato un grande aiuto. Non ho capito due cose: la prima nella risposta di clever, non ho capito il -2t nelle coordinate del centro da dove è uscito. Nella risposta di franced, invece, non ho capito questo passaggio: [tex]x^2+y^2+z^2 + (5 + \lambda)\,x + (-5 - \lambda)\,y + (-3 + \lambda)\,z + 2\,\lambda = 0[/tex] . Da dove esce il meno lambda ecc...???Grazie per l'aiuto.
Oh ecco perchè! Ho messo $-2t$ invece di $t$ si, avrò fatto qualche errore di calcolo.
Grazie!
Grazie!
Ti devi risolvere il sistema di 3 equazioni in 4 incognite, ti scegli un parametro libero (io ho scelto $d$)
e poi ho posto $lambda = d/2$.
e poi ho posto $lambda = d/2$.
Ok grazie ragazzi. Un ultimo quesito a cui non so rispondere è questo: verificare se l'origine è interna o esterna a tale sfera, cioè mi chiede di vedere se il punto O (0,0,0) appartiene alla sfera, giusto?Come potrei verificarlo???Grazie
Si mettere il punto $(0,0,0)$ dentro l'equazione della sfera.
A me viene $-10=0$ che non è possibile quindi il punto è esterno alla sfera.
A me viene $-10=0$ che non è possibile quindi il punto è esterno alla sfera.
Grazie mille siete stati gentilissimi e mi avete aiutato tantissimo. Buon anno e buona epifania
"clever":
Si mettere il punto $(0,0,0)$ dentro l'equazione della sfera.
A me viene $-10=0$ che non è possibile quindi il punto è esterno alla sfera.
Assolutamente il contrario!
Visto che viene negativo, il punto è interno alla sfera.
non lo sapevo proprio, scusa
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