Equazione della retta passante per un punto e incidente due rette date

[bucefalo_74]

Salve, mi date una mano a capire se il ragionamento è corretto?

Considerate le due rette seguenti

$r : x = 2 , z = 0 ; s : x = y , y = z$

scrivere l'equazione della retta passante per il punto $A(3,0,1)$ incidente a $r$ ed $s$

Ho ricavato le direzioni di r ed s che sono $Vr(1,-1,0)$ e $Vs(1,1,1)$. I numeri direttori della retta cercata $(a,b,c)$ devono dipendere linearmente da Vr e Vs perchè se sono incidenti le 3 rette devono essere complanari. Quindi il determinante della matrice delle 3 direzioni deve essere 0 e ricavo la relazione

$c=(a+b)/2$
Assegno ad $a$ e $b$ due valori qualunque e ricavo c. Infine scrivo l'equazione della retta cercata come equazione parametrica

$x=3+at$, $y=0+bt$, $z=1+ct$

E' corretto il ragionamento?
Grazie

[Quinzio]

Salve, mi date una mano a capire se il ragionamento è corretto?

Mmmmh... non ho capito bene il tuo ragionamento, ma direi che non ci siamo.

Intanto, una retta che incide su altre due rette significa che la prima retta incrocia le altre due.
Poi, non e' sempre detto che, date due rette ed un punto, esista una terza retta che attraversa le due rette ed il punto.
Se disegni due rette parallele su un foglio di carta e prendi un punto che dista 10 cm sopra al foglio, staccato dal foglio, e' chiaro che non puo' esistere una terza retta che attraversa le due rette ed il punto.
Detto cio', veniamo al tuo esercizio.
Io lo risolverei cosi' anche se non e' l'unico modo.
Intanto prendiamo le equazioni parametriche delle due rette
$r = (2, t_1, 0)$
$s = (t_2,t_2,t_2)$

Una generica retta che le attraversa tutte e due e' generata da una proporzione lineare di due punti presi a piacere, uno su ciascuna retta. La retta generata e' per cio' funzione di un parametro $k$.
Se vado a fissare il parametro $k$, ho un punto sulla retta generata.

Quindi, presi i punti sulle due rette
$R(t_1) = (2, t_1, 0)$
$S(t_2) = (t_2,t_2,t_2)$

un terzo punto $Q(t_1, t_2)$ sulla retta che incide le altre due e'
$Q(t_1, t_2) = k R(t_1) + (1-k)S(t_2)$
ovvero
$Q(t_1, t_2) = (2k+(1-k)t_2, \ \ \ kt_1+(1-k)t_2,\ \ \ (1-k)t_2)$

Adesso quello che vorrei per risolvere l'esercizio e' che il punto dato $A(3,0,1)$ possa soddisfare l'equazione di $Q$.
Ossia $Q(t_1, t_2)= A$
Quindi faccio il sistema
${ ( 2k+(1-k)t_2 =3),( kt_1+(1-k)t_2 =0),( (1-k)t_2=1 ):}$

Sottraendo la terza eq. dalla prima ricavo subito che $k=1$.
Ma questo rende la terza eq. stessa impossibile da soddisfare.

Da questo si deduce che la retta cercata non esiste.

perchè se sono incidenti le 3 rette devono essere complanari.

Perche' dici questo ? E' corretto ?
Di nuovo, prendi un foglio di carta e disegna due rette incidenti. Poi simula una terza retta con la biro, mettendo la punta della biro su un punto di una delle rette.
Le 3 rette sono complanari ? Il foglio e' un piano condiviso da quali rette ?

[bucefalo_74]

Grazie mille per la risposta, nel mio ragionamento (sbagliato) mi limitavo a considerare il caso di R^2 e non R^3, ma evidentemente questo è un arbitrio che non ci si può concedere.
In R^2 3 rette non parallele sono tali per cui ognuna interseca le altre due sicuramente, era quello il caso a cui stavo pensando, ma qui siamo nello spazio e non si può fare.

Ho capito come hai risolto l'esercizio anche se dal corso di teoria di geometria ed algebra studiato non ho trovato quella costruzione che fai tu con k e (1-k).
ci sarebbe un altro metodo perchè quello che hai esposto tu è un po' difficile.
Grazie molte per il tempo dedicatomi.

[Quinzio]

"bucefalo74":

Ho capito come hai risolto l'esercizio anche se dal corso di teoria di geometria ed algebra studiato non ho trovato quella costruzione che fai tu con k e (1-k).
ci sarebbe un altro metodo perchè quello che hai esposto tu è un po' difficile.

Non e' difficile.
Hai due punti $A$ e $B$ e devi trovare un punto sulla retta che passa per $A$ e $B$.
Come fai ?
Trovi il vettore $A-B$ lo moltiplichi per un qualche numero $k$ e poi gli sommi $B$.
Ovvero fai $(A-B)k+B$ che e' la stessa cosa di $kA + (1-k)B$.
Esempio: hai sul piano cartesiano $A = (10, 20)$ e $B= (11,12)$.
Un punto sulla retta che unisce $A$ e $B$ ha equazione
$kA + (1-k)B = k(10, 20) + (1-k)(11,12) = (11-k, 12+8k) $