Equazione del piano TT
Salve a tutti! Svolgendo esercizi sulle rette, piani ecc... Una domanda mi ha mandato in crisi, anche se è banale ma è così! xD
"Fissato un riferimento affine dello spazio, si considerino i punti A (0,-2,1) B(0,11,-3) D(-1,2-5). Scrivere l'equazione cartesiana del piano per i punti A,B,D"
Come si fa?
La soluzione è 62x,-4y-13z+5=0
"Fissato un riferimento affine dello spazio, si considerino i punti A (0,-2,1) B(0,11,-3) D(-1,2-5). Scrivere l'equazione cartesiana del piano per i punti A,B,D"
Come si fa?
La soluzione è 62x,-4y-13z+5=0
Risposte
La so, la so, la so! (che emozione)
1) Puoi conoscere due vettori della giacitura del piano:
AB = (0, 13, -4)
BC = (-1, -9, -2)
p.s. (scusa, ho usato C al posto di D: lo lascio così)
2) Un'equazione parametrica del piano è:
(x, y, z) = (0, -2, 1) + k AB + h BC (dove (x, y, z) è il punto generico del piano)
(x, y, z) - (0, -2, 1) = k AB + h BC
(x, y+2, z-1) = k AB + h BC
Questa uguaglianza ti dice che i tre vettori (x, y+2, z-1), AB e BC sono linearmente dipendenti. Equivalentemente, il determinante che ha nelle colonne (o nelle righe) questi tre vettori è nullo.
$ | ( x , y+2 , z-1 ),( 0 , 13 , -4 ),( -1 , -9 , -2 ) | = 0 $
Se sviluppi il determinante e lo poni uguale a zero, ne risulta l'equazione cartesiana.
1) Puoi conoscere due vettori della giacitura del piano:
AB = (0, 13, -4)
BC = (-1, -9, -2)
p.s. (scusa, ho usato C al posto di D: lo lascio così)
2) Un'equazione parametrica del piano è:
(x, y, z) = (0, -2, 1) + k AB + h BC (dove (x, y, z) è il punto generico del piano)
(x, y, z) - (0, -2, 1) = k AB + h BC
(x, y+2, z-1) = k AB + h BC
Questa uguaglianza ti dice che i tre vettori (x, y+2, z-1), AB e BC sono linearmente dipendenti. Equivalentemente, il determinante che ha nelle colonne (o nelle righe) questi tre vettori è nullo.
$ | ( x , y+2 , z-1 ),( 0 , 13 , -4 ),( -1 , -9 , -2 ) | = 0 $
Se sviluppi il determinante e lo poni uguale a zero, ne risulta l'equazione cartesiana.
Come ti esce -1,-9,-2????
Le coordinate di C meno le coordinate di B:
(-1, 2, -5) - (0, 11, -3) = (-1, -9, -2)
Allo stesso modo AB.
(-1, 2, -5) - (0, 11, -3) = (-1, -9, -2)
Allo stesso modo AB.
$ 13 z = -4 y - 16 y - 8 + 78 x + 13 $Un altro sistema equivalente, per me più immediato perché trovo le forme parametriche sia per rette che per piano molto intuitive da usare, sarebbe questo:
Ho tre punti:
$ A = (x_a, y_a, z_a), B = (x_b, y_b, z_b), C = (x_c, y_c, z_c) $
E quindi il piano $ H $ che cerchiamo è generato dai vettori:
$ H = L(\vec{B-A}, \vec{C-A}) $ con $ \vec{B-A} = (x_b - x_a, y_b - y_a, z_b - z_a) $ e $ \vec{C-A} = (x_c - x_a, y_c - y_a, z_c - z_a) $; inoltre dobbiamo far sì che il piano passi per un punto, che possiamo scegliere a piacere tra i tre (per semplicità ho scelto A).
Quindi l'equazione parametrica del piano $ H $ è la seguente (:
$ { ( x = (x_b - x_a) t_1 + (x_c - x_a) t_2 + x_a ),( y = (y_b - y_a) t_1 + (y_c - y_a) t_2 + y_a ),( z = (z_b - z_a) t_1 + (z_c - z_a) t_2 + z_a ):} $
E da questa puoi passare alla forma cartesiana che hai richiesto.
Ora provo a fare l'esercizio con questo sistema:
I tre punti sono $ A = (0,-2,1), B = (0,11,-3), C = (-1,2,-5)$.
Calcoliamo i vettori che generano il piano: $ \vec{B-A} = (0 - 0, 11 - (-2), -3 - 1) = (0, 13, -4) $ e $ \vec{C-A} = (-1 - 0, 2 - (-2), -5 - 1) = (-1, 4, -6) $.
Ora scriviamo la formula parametrica del piano generato da questi due vettori e passante per A:
$ { ( x = - t_2 ),( y = 13 t_1 + 4 t_2 - 2 ),( z = -4 t_1 - 6 t_2 + 1 ):} $.
Ora l'unica cosa che rimane da fare è scrivere l'equazione del piano in forma cartesiana, in questo modo:
$ { ( t_2 = -x ),( t_1 = (y - 4 t_2 + 2) / (13) = (y + 4 x + 2) / (13) ),( z = -4 t_1 - 6 t_2 + 1 = -4 (y + 4 x + 2) / (13) + 6x + 1 ):} $.
Ora che ci siamo sbarazzati di $ t_1 $ e $ t_2 $ concentriamoci sull'ultima equazione che mette in relazione $x, y, z$ (ovvero è la forma cartesiana che cerchiamo).
$13 z = -4 y - 16 y - 8 + 78 x + 13$ e quindi $ 62 x - 4 y - 13 z + 5 = 0$.
Ho tre punti:
$ A = (x_a, y_a, z_a), B = (x_b, y_b, z_b), C = (x_c, y_c, z_c) $
E quindi il piano $ H $ che cerchiamo è generato dai vettori:
$ H = L(\vec{B-A}, \vec{C-A}) $ con $ \vec{B-A} = (x_b - x_a, y_b - y_a, z_b - z_a) $ e $ \vec{C-A} = (x_c - x_a, y_c - y_a, z_c - z_a) $; inoltre dobbiamo far sì che il piano passi per un punto, che possiamo scegliere a piacere tra i tre (per semplicità ho scelto A).
Quindi l'equazione parametrica del piano $ H $ è la seguente (:
$ { ( x = (x_b - x_a) t_1 + (x_c - x_a) t_2 + x_a ),( y = (y_b - y_a) t_1 + (y_c - y_a) t_2 + y_a ),( z = (z_b - z_a) t_1 + (z_c - z_a) t_2 + z_a ):} $
E da questa puoi passare alla forma cartesiana che hai richiesto.
Ora provo a fare l'esercizio con questo sistema:
I tre punti sono $ A = (0,-2,1), B = (0,11,-3), C = (-1,2,-5)$.
Calcoliamo i vettori che generano il piano: $ \vec{B-A} = (0 - 0, 11 - (-2), -3 - 1) = (0, 13, -4) $ e $ \vec{C-A} = (-1 - 0, 2 - (-2), -5 - 1) = (-1, 4, -6) $.
Ora scriviamo la formula parametrica del piano generato da questi due vettori e passante per A:
$ { ( x = - t_2 ),( y = 13 t_1 + 4 t_2 - 2 ),( z = -4 t_1 - 6 t_2 + 1 ):} $.
Ora l'unica cosa che rimane da fare è scrivere l'equazione del piano in forma cartesiana, in questo modo:
$ { ( t_2 = -x ),( t_1 = (y - 4 t_2 + 2) / (13) = (y + 4 x + 2) / (13) ),( z = -4 t_1 - 6 t_2 + 1 = -4 (y + 4 x + 2) / (13) + 6x + 1 ):} $.
Ora che ci siamo sbarazzati di $ t_1 $ e $ t_2 $ concentriamoci sull'ultima equazione che mette in relazione $x, y, z$ (ovvero è la forma cartesiana che cerchiamo).
$13 z = -4 y - 16 y - 8 + 78 x + 13$ e quindi $ 62 x - 4 y - 13 z + 5 = 0$.
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