Equazione del piano passante per due punti
Salve! Ho delle difficoltà nel risolvere questo esercizio di geometria:
Nello spazio euclideo E3 si considerino i punti A=(1,0,0) e B=(1,0,-1) e la retta r) x+2=y=z+2
1)scrivere l'equazione del piano α passante per A e per B e parallelo ad r
2) scrivere l'equazione del piano β contenente r e parallelo a v) x+y+3=0
Nel primo punto non riesco a capire, una volta trovati i coefficienti direttori di r, e imposto che il prodotto scalare dei coeff. direttori di r per i coefficienti direttori del piano sia uguale a 0, come arrivare all'equazione del piano.
Nel secondo punto ho ricavato le equazioni cartesiane di r ( ma non so se nel metodo esatto; a me viene: {x+2-y=0 ; x+3-z=0} ) e ho trovato l'equazione del fascio. Ho poi imposto che i coefficienti direttori del piano fossero proporzionale a quelli del piano v), ma non ho concluso nulla!
Potreste darmi una mano?!
grazie mille in anticipo!!
Nello spazio euclideo E3 si considerino i punti A=(1,0,0) e B=(1,0,-1) e la retta r) x+2=y=z+2
1)scrivere l'equazione del piano α passante per A e per B e parallelo ad r
2) scrivere l'equazione del piano β contenente r e parallelo a v) x+y+3=0
Nel primo punto non riesco a capire, una volta trovati i coefficienti direttori di r, e imposto che il prodotto scalare dei coeff. direttori di r per i coefficienti direttori del piano sia uguale a 0, come arrivare all'equazione del piano.
Nel secondo punto ho ricavato le equazioni cartesiane di r ( ma non so se nel metodo esatto; a me viene: {x+2-y=0 ; x+3-z=0} ) e ho trovato l'equazione del fascio. Ho poi imposto che i coefficienti direttori del piano fossero proporzionale a quelli del piano v), ma non ho concluso nulla!
Potreste darmi una mano?!
grazie mille in anticipo!!
Risposte
1) il piano in generale avrà equazione $ax+by+cz+d=0$, con $a,b,c,d$ incogniti. La condizione di parallelismo retta-piano ti fornisce una equazione in tale incognite; per le altre due, basta sostituire le coordinate dei punti nella equazione generale del piano.
2) nel secondo, puoi osservare che se due piani sono paralleli, allora le normali sono vettori paralleli: quella del piano v la trovi immediatamente. Per determinare quella del piano che ti serve, considera il fatto che tale normale deve e ssere ortogonale alla direzione della retta r.
2) nel secondo, puoi osservare che se due piani sono paralleli, allora le normali sono vettori paralleli: quella del piano v la trovi immediatamente. Per determinare quella del piano che ti serve, considera il fatto che tale normale deve e ssere ortogonale alla direzione della retta r.
"marips":
Nel primo punto non riesco a capire, una volta trovati i coefficienti direttori di r, e imposto che il prodotto scalare dei coeff. direttori di r per i coefficienti direttori del piano sia uguale a 0, come arrivare all'equazione del piano.
Così facendo imponi che \( r \perp \alpha \), quindi non va bene.
Se \( A \) e \( B \) devono appartenere ad \( \alpha \), allora il vettore \( \overrightarrow{AB} \) deve appartenere alla sua giacitura, cioè la giacitura di \( \alpha \) si deve poter scrivere come
\[ U_{\alpha} = \mathcal{L}\, (\mathbf{v}_r,\, \overrightarrow{AB}) \]
dove \( \mathbf{v}_r \) è un vettore di direzione di \( r \).
D'altronde, di piani con giacitura \( U_{\alpha} \) ce ne sono infiniti, pertanto per individuare \( \alpha \) serve un terzo vettore, scelto col seguente criterio.
Sia \( P\, (x, y, z) \) un punto generico di \( \alpha \). Poiché deve essere \( \overrightarrow{AB} \in U_{\alpha} \), allora se il vettore \( \overrightarrow{AP} \) è combinazione lineare dei generatori di \( U_{\alpha} \) abbiamo individuato univocamente \( \alpha \).
Vedila così: è come considerare il fascio improprio di piani di giacitura \( U_{\alpha} \) e scegliere tra questi quello che passa per il punto \( A \) (o, equivalentemente, che passa per \( B \)).
Per ottenere l'equazione, basta allora imporre la dipendenza lineare dei tre vettori scelti:
\[ \det\, \left ( \left [ \overrightarrow{AB} \right ]_{\mathcal{B}}\ [\mathbf{v}_r]_{\mathcal{B}}\ \left [ \overrightarrow{AP} \right ]_{\mathcal{B}} \right ) = 0 \]
dove \( \mathcal{B} \) è la base del riferimento scelto per assegnare le coordinate ai punti.
Per quanto riguarda il secondo punto, il piano cercato non esiste, perché dovrebbe avere giacitura \( U_{\beta} \) di equazione
\[ U_{\beta} : x + y = 0 \]
ma i piani del fascio improprio di giacitura \( U_{\beta} \) sono tutti incidenti ad \( r \) e quindi nessuno di loro la contiene.
"ciampax":
1) il piano in generale avrà equazione $ax+by+cz+d=0$, con $a,b,c,d$ incogniti. La condizione di parallelismo retta-piano ti fornisce una equazione in tale incognite; per le altre due, basta sostituire le coordinate dei punti nella equazione generale del piano.
2) nel secondo, puoi osservare che se due piani sono paralleli, allora le normali sono vettori paralleli: quella del piano v la trovi immediatamente. Per determinare quella del piano che ti serve, considera il fatto che tale normale deve e ssere ortogonale alla direzione della retta r.
Grazie mille,comincio già a capirci qualcosina in più!
Ma per quanto riguarda il primo punto..come mi ricavo i coefficienti direttori di r? Va bene il modo in cui ho scritto l'equazione della retta in forma parametrica?
Ho capito quello che mi hai suggerito, però non riesco ugualmente a impostarlo
grazie mille ancora!
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