Equazione del piano contenente la retta r e passante per il
Salve, data una retta r e un punto P mi devo calcolare il piano contenente r e passante per P.
Allora porto la r in forma parametrica e mi ricavo il vettore direttore. ora come continuo?
Allora porto la r in forma parametrica e mi ricavo il vettore direttore. ora come continuo?
Risposte
"Musicam":
Salve, data una retta r e un punto P mi devo calcolare il piano contenente r e passante per P.
Allora porto la r in forma parametrica e mi ricavo il vettore direttore. ora come continuo?
Beh, puoi farlo in molti modi. Il più semplice penso sia semplicemente prendere due punti sulla retta e calcolarti il piano per 3 punti.
mmmm mi diresti tutti i passi che devo fare?xD
Qual è la condizione che si deve verificare quando richiediamo che un piano debba contenere una retta!?
devono avere 2 punti in comune
se capisci cosa si intende per passante "passante"....ti ho già detto come fare nell'altro post 
....
Allora r ti descrive un fascio di piani...devi trovare quello che passa in un punto....se ci passa che angolo si forma?
....Allora r ti descrive un fascio di piani...devi trovare quello che passa in un punto....se ci passa che angolo si forma?
Vediamo di dare un minimo di aiuto dato che non sembra che ci arrivi da solo.
Se la retta è definita come intersezioni di due piani \(\displaystyle \pi_1 \) e \(\displaystyle \pi_2 \) espressi in forma implicita allora:
\(\displaystyle \pi_1 \colon f_1 = 0 \)
\(\displaystyle \pi_2 \colon f_2 = 0 \)
\(\displaystyle r = \begin{cases} P_1 = 0 \\ P_2 = 0 \end{cases} \)
dove \(\displaystyle f_1 = a_1x + b_1y + c_1z + d_1 \) e \(\displaystyle f_2 = a_2x + b_2y + c_2z + d_2 \) (ho scritto \(\displaystyle f_1 \) e \(\displaystyle f_2 \) per velocità)
In questo casi si ha che il fascio di piani passanti per \(\displaystyle r \) è definito come \(\displaystyle \mu f_1 + \lambda f_2 = 0 \)
A questo punto ti basta imporre il passaggio per \(\displaystyle P \). Cioè sostituisci in \(\displaystyle \mu f_1 + \lambda f_2 = 0 \) le coordinate del punto \(\displaystyle P \) e trovi un'equazione del tipo \(\displaystyle k\mu + s\lambda = 0 \) cioè \(\displaystyle \mu = -\frac{s}{k} \lambda \). A questo punto sostituisci nella generica equazione del fascio e trovi il risultato.
Per la questione dei 3 punti basta trovare 2 punti sulla retta. Questo si può fare, per esempio, nel seguente modo (se uno dei due piani non è della forma \(\displaystyle x = d \) o \(\displaystyle y = d \)): trovi le soluzioni dei seguenti due sistemi.
\(\displaystyle \begin{cases} P_1 = 0 \\ P_2 = 0 \\ x = 0 \end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases} P_1 = 0 \\ P_2 = 0 \\ y = t \end{cases} \)
per un qualche \(\displaystyle t \) diverso dalla \(\displaystyle y \) del primo punto trovato. In ogni caso ci sono tanti modi, in generale li prendi a caso comunque. DOpo di che si usa la normale formula per trovare un piano che passa per 3 punti.
Se la retta è definita come intersezioni di due piani \(\displaystyle \pi_1 \) e \(\displaystyle \pi_2 \) espressi in forma implicita allora:
\(\displaystyle \pi_1 \colon f_1 = 0 \)
\(\displaystyle \pi_2 \colon f_2 = 0 \)
\(\displaystyle r = \begin{cases} P_1 = 0 \\ P_2 = 0 \end{cases} \)
dove \(\displaystyle f_1 = a_1x + b_1y + c_1z + d_1 \) e \(\displaystyle f_2 = a_2x + b_2y + c_2z + d_2 \) (ho scritto \(\displaystyle f_1 \) e \(\displaystyle f_2 \) per velocità)
In questo casi si ha che il fascio di piani passanti per \(\displaystyle r \) è definito come \(\displaystyle \mu f_1 + \lambda f_2 = 0 \)
A questo punto ti basta imporre il passaggio per \(\displaystyle P \). Cioè sostituisci in \(\displaystyle \mu f_1 + \lambda f_2 = 0 \) le coordinate del punto \(\displaystyle P \) e trovi un'equazione del tipo \(\displaystyle k\mu + s\lambda = 0 \) cioè \(\displaystyle \mu = -\frac{s}{k} \lambda \). A questo punto sostituisci nella generica equazione del fascio e trovi il risultato.
Per la questione dei 3 punti basta trovare 2 punti sulla retta. Questo si può fare, per esempio, nel seguente modo (se uno dei due piani non è della forma \(\displaystyle x = d \) o \(\displaystyle y = d \)): trovi le soluzioni dei seguenti due sistemi.
\(\displaystyle \begin{cases} P_1 = 0 \\ P_2 = 0 \\ x = 0 \end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases} P_1 = 0 \\ P_2 = 0 \\ y = t \end{cases} \)
per un qualche \(\displaystyle t \) diverso dalla \(\displaystyle y \) del primo punto trovato. In ogni caso ci sono tanti modi, in generale li prendi a caso comunque. DOpo di che si usa la normale formula per trovare un piano che passa per 3 punti.
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