Equazione del piano che contiene una retta e passa per P
Salve a tutti, mi sto esercitando per un esame di algebra e geometria e ancora in geometria analitica ho qualche problema infatti mi ritrovo con questo esercizio senza sapere come svolgerlo. L'esercizio in questione è "determinare l'equazione parametrica e cartesiana di un piano che passa per P(3,2,1) e contiene la retta r: ${(y+z-1=0),(x+2y-z=0):}$ ". Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Ciao, intanto ti dico che per far visualizzare bene le formule devi eliminare il backslash che metti prima del simbolo di dollaro.
Detto questo, le equazioni parametriche di un piano in generale si scrivono nella forma
$((x),(y),(z))=t_1 v + t_2 w + A$
dove $t_1, t_2$ sono i parametri, $v,w$ sono due qualunque vettori che generano la giacitura del piano e infine $A$ è un qualunque punto del piano.
Nel tuo caso puoi usare il vettore direzione di $r$ come $v$. Come $w$ puoi utilizzare $PQ$ dove $Q$ è un punto arbitrario di $r$ e infine come $A$ usi $P$.
Prova e poi vediamo se ti blocchi ancora e dove (posta i calcoli).
Paola
Detto questo, le equazioni parametriche di un piano in generale si scrivono nella forma
$((x),(y),(z))=t_1 v + t_2 w + A$
dove $t_1, t_2$ sono i parametri, $v,w$ sono due qualunque vettori che generano la giacitura del piano e infine $A$ è un qualunque punto del piano.
Nel tuo caso puoi usare il vettore direzione di $r$ come $v$. Come $w$ puoi utilizzare $PQ$ dove $Q$ è un punto arbitrario di $r$ e infine come $A$ usi $P$.
Prova e poi vediamo se ti blocchi ancora e dove (posta i calcoli).
Paola
un modo abbastanza veloce per la forma cartesiana è scrivere il fascio di piani per \(\displaystyle r \) e imporre il passaggio per \(\displaystyle P \):
\(\displaystyle F(r)=\lambda(y+z-1)+\mu(x+2y-z)=0 \)
sostituisci le coordinate di P a x y e z e ottieni una relazione tra \(\displaystyle \lambda \) e \(\displaystyle \mu \), quindi puoi riscrivere il fascio in funzione di una sola delle due e, una volta fissatala a un valore non nullo, ottenere una delle rappresentazioni cartesiane del piano.
\(\displaystyle F(r)=\lambda(y+z-1)+\mu(x+2y-z)=0 \)
sostituisci le coordinate di P a x y e z e ottieni una relazione tra \(\displaystyle \lambda \) e \(\displaystyle \mu \), quindi puoi riscrivere il fascio in funzione di una sola delle due e, una volta fissatala a un valore non nullo, ottenere una delle rappresentazioni cartesiane del piano.
Ho provato risolvendo come ha detto Paola è ho ottenuto che il parametro direttore della retta è il vettore $alpha*((3),(-2),(1))$ come risultato della risoluzione del sistema delle 2 equazioni della retta:
$((1,1,-1),(1,2,1))to((1,1,-1),(0,1,2))$
Poi ho il punto A generico per cui passa il piano che è $((3),(2),(1))$ mi mancherebbe PQ che però non so come trovarlo.
Mentre con il metodo suggerito da Gorund mi esce facendo i conti che l'equazione cartesiana del piano è $mu*(x-y-4z+3)=0$ ottenuta da :
$F(r)=lambda*(y+z+1)+mu*(x+2y-z)=0$
$2lambda+6mu=0$
$lambda=-3mu$
quindi
$F(r) = -3muy-3muz+3mu+mux+2muy-muz=0$
cosi è giusto?
$((1,1,-1),(1,2,1))to((1,1,-1),(0,1,2))$
Poi ho il punto A generico per cui passa il piano che è $((3),(2),(1))$ mi mancherebbe PQ che però non so come trovarlo.
Mentre con il metodo suggerito da Gorund mi esce facendo i conti che l'equazione cartesiana del piano è $mu*(x-y-4z+3)=0$ ottenuta da :
$F(r)=lambda*(y+z+1)+mu*(x+2y-z)=0$
$2lambda+6mu=0$
$lambda=-3mu$
quindi
$F(r) = -3muy-3muz+3mu+mux+2muy-muz=0$
cosi è giusto?
Lo svolgimento col mio metodo è corretto, stai solo attento alle notazioni perchè \(\displaystyle F(r) \) indica il fascio di piani per \(\displaystyle r \) (almeno secondo la notazione della mia prof), ma dopo aver imposto il passaggio per P non hai più un fascio ma un solo piano per cui non puoi chiamarla così(al variare di \(\displaystyle \mu \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \) il piano rappresentato è lo stesso).
Per il metodo di Paola per prima cosa i numeri direttori della retta sono sbagliati: portando la retta in forma parametrica otteniamo:
${(x=-2+3\lambda),(y=1-\lambda),(z=\lambda):} $
per cui una tripla di direttori è \(\displaystyle (3,-1,1) \) e non \(\displaystyle (3,-2,1) \).
per \(\displaystyle PQ \) consideri un punto qualunque di \(\displaystyle r \), io ho scelto \(\displaystyle Q(1,0,1) \), e calcoli il vettore traslazione \(\displaystyle \overline{PQ}=(3,2,1)-(1,0,1)=(2,2,0) \) che è un'altra tripla di direttori per il tuo piano: infatti, poichè il piano deve passare per \(\displaystyle r \) e \(\displaystyle P \), una retta per \(\displaystyle P \) incidente su \(\displaystyle r \) vi appartiene sicuramente. L'ultimo passaggio è quindi scrivere il piano in forma parametrica: la formula generale è, dette \(\displaystyle (v_1,v_2,v_3) \) e \(\displaystyle (w_1,w_2,w_3) \) due triple di direttori di un piano, e \(\displaystyle (x',y',z') \) un suo punto:
${(x=x'+\lambda v_1+\mu w_1),(y=y'+\lambda v_2+\mu w_2),(z=z'+\lambda v_1+\mu v_2):} $
Per il metodo di Paola per prima cosa i numeri direttori della retta sono sbagliati: portando la retta in forma parametrica otteniamo:
${(x=-2+3\lambda),(y=1-\lambda),(z=\lambda):} $
per cui una tripla di direttori è \(\displaystyle (3,-1,1) \) e non \(\displaystyle (3,-2,1) \).
per \(\displaystyle PQ \) consideri un punto qualunque di \(\displaystyle r \), io ho scelto \(\displaystyle Q(1,0,1) \), e calcoli il vettore traslazione \(\displaystyle \overline{PQ}=(3,2,1)-(1,0,1)=(2,2,0) \) che è un'altra tripla di direttori per il tuo piano: infatti, poichè il piano deve passare per \(\displaystyle r \) e \(\displaystyle P \), una retta per \(\displaystyle P \) incidente su \(\displaystyle r \) vi appartiene sicuramente. L'ultimo passaggio è quindi scrivere il piano in forma parametrica: la formula generale è, dette \(\displaystyle (v_1,v_2,v_3) \) e \(\displaystyle (w_1,w_2,w_3) \) due triple di direttori di un piano, e \(\displaystyle (x',y',z') \) un suo punto:
${(x=x'+\lambda v_1+\mu w_1),(y=y'+\lambda v_2+\mu w_2),(z=z'+\lambda v_1+\mu v_2):} $
Mi è venuto in mente un terzo metodo anche molto veloce:
diciamo sempre \(\displaystyle (v_1,v_2,v_3) \) e \(\displaystyle (w_1,w_2,w_3) \) due triple di direttori di un piano \(\displaystyle \alpha \). L'equazione cartesiana di \(\displaystyle \alpha \) è data (a meno di una costante \(\displaystyle c \)) dal determinante della matrice:
$((x,y,z),(v_1,v_2,v_3),(w_1,w_2,w_3))$
che si svolge facilmente con il metodo di Laplace ed è:
\(\alpha:x\)$|(v_2,v_3),(w_2,w_3)|$\(-y\)$|(v_1,v_3),(w_1,w_3)|$\(+z\)$|(v_1,v_2),(w_1,w_2)|$\(+c=0\)
Conoscendo un punto \((x',y',z')\) del piano vai a sostituire in \(\alpha\) e determini \(c\). Con questo è tutto, i calcoli stanno a te
diciamo sempre \(\displaystyle (v_1,v_2,v_3) \) e \(\displaystyle (w_1,w_2,w_3) \) due triple di direttori di un piano \(\displaystyle \alpha \). L'equazione cartesiana di \(\displaystyle \alpha \) è data (a meno di una costante \(\displaystyle c \)) dal determinante della matrice:
$((x,y,z),(v_1,v_2,v_3),(w_1,w_2,w_3))$
che si svolge facilmente con il metodo di Laplace ed è:
\(\alpha:x\)$|(v_2,v_3),(w_2,w_3)|$\(-y\)$|(v_1,v_3),(w_1,w_3)|$\(+z\)$|(v_1,v_2),(w_1,w_2)|$\(+c=0\)
Conoscendo un punto \((x',y',z')\) del piano vai a sostituire in \(\alpha\) e determini \(c\). Con questo è tutto, i calcoli stanno a te
Grazie mille per le tue risposte!! Non mi ero proprio accorto di aver commesso un errore cosi stupido nella risoluzione del sistema infatti ho rifatto i conti e mi è uscito tutto! Però avrei un altra domanda come fai a trovare come Q come nella risoluzione che mi hai dato tu che è sicuramente contenuto nella retta?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo