Equazione cartesiana immagine sottospazio

[Shika93]

Ho l'applicazione $L:\RR^3 -> \RR^4$

$L=((x+y+2z),(x+z),(y+z),(x+y+2z))$ e ho trovato che $dimker(L)=1, dimIm(L)=2$
a questo punto mi viene chiesto di trovare le equazioni cartesiane per kerL e ImL

io ho trovato la matrice A associata alla base canonica (era la prima richiesta dell'esercizio) e ho visto che ha rango 2 perchè la colonna 3 è la somma delle prime due, quindi per kerL devo scrivere 2 equazioni tale che
$kerL={v\in\RR^3|L(v)=0}$ e quindi ho scritto le due equazioni di mezzo
${(x+z=0),(y+z=0):}$

le equazioni di imL non le so scrivere invece.
So che $ImL=span(L(e_1), L(e_2)) \Rightarrow {w\in\RR^4|w=\alphaL(e_1)+\betaL(e_2), \alpha,\beta\inRR}$
ma non so come scriverla

$\alphaL(e_1)=\alpha((1),(1),(0),(1))$, $\betaL(e_2)=\beta((1),(0),(1),(1))$
cosa devo fare ora?

[Shika93]

Ah niente ho capito. Basta metterle insieme.

$\{(x=\alpha+\beta),(y=\alpha),(z=\beta),(t=\alpha+\beta):}$