Equazione cartesiana di una sottospazio
Ciao. Ho un piccolo studio di un'applicazione lineare e mi trovo un risultato leggermente diverso da quello indicato nel mio libro per l'equazione cartesiana dell'immagine.
Il problema è quindi semplicemente verificare da questa combinazione lineare:
L( (1,5,4,3),(-1,-2,-3,-2) ), le equazioni cartesiane del sottospazio sono effettivamente:
$ { ( x-z+t=0 ),( -4x-y+3t=0 ):} $
(la soluzione del libro è quasi identica, differisce per avere -7x invece di -4x)
Anche se sembra un dubbio banale non sono riuscito a trovare su internet nessun calcolatore di equazioni cartesiane. Sono sicuro che non sto usando le parole giuste per trovarlo. Se qualcuno di voi sapesse darmene uno o istruirmi su come si potrebbe chiedere a Wolfram, lo apprezzerei molto, dato che probabilmente ne avrò continuamente bisogno.
Sarei lieto di confrontare il procedimento step by step con quello nel mio eserciziario ma il metodo usato mi è oscuro e non voglio neanche sforzarmi di capirlo: ho preferito usare la definizione di combinazione lineare con i coefficienti a e b per i due vettori, e risolvere in a. Posso così eguagliare a a tre diverse equazioni in x, y, z e t, appunto le equazioni del sottospazio. Invece non è possibile esprimere b in funzione di x, y, z e t solamente (b rimane sempre anche funzione di a), il che mi sembra giusto perché garantisce che due variabili siano indipendenti (lo span dei due vettori è chiaramente un sottospazio di R^4 equivalente ad R^2).
Se non ho sbagliato i calcoli, avrei una possibile spiegazione: nell'eserciziario viene prima di tutto effettuato un cambiamento di base (del dominio) dell'applicazione lineare verso quella canonica, e poi trovata l'equazione cartesiana dell'immagine. Non vi annoio con i dati, voglio solo sapere se un cambiamento di base varia o no l'equazione cartesiana (io ho sempre dato per scontato che l'equazione non cambi, forse ingenuamente).
Il problema è quindi semplicemente verificare da questa combinazione lineare:
L( (1,5,4,3),(-1,-2,-3,-2) ), le equazioni cartesiane del sottospazio sono effettivamente:
$ { ( x-z+t=0 ),( -4x-y+3t=0 ):} $
(la soluzione del libro è quasi identica, differisce per avere -7x invece di -4x)
Anche se sembra un dubbio banale non sono riuscito a trovare su internet nessun calcolatore di equazioni cartesiane. Sono sicuro che non sto usando le parole giuste per trovarlo. Se qualcuno di voi sapesse darmene uno o istruirmi su come si potrebbe chiedere a Wolfram, lo apprezzerei molto, dato che probabilmente ne avrò continuamente bisogno.
Sarei lieto di confrontare il procedimento step by step con quello nel mio eserciziario ma il metodo usato mi è oscuro e non voglio neanche sforzarmi di capirlo: ho preferito usare la definizione di combinazione lineare con i coefficienti a e b per i due vettori, e risolvere in a. Posso così eguagliare a a tre diverse equazioni in x, y, z e t, appunto le equazioni del sottospazio. Invece non è possibile esprimere b in funzione di x, y, z e t solamente (b rimane sempre anche funzione di a), il che mi sembra giusto perché garantisce che due variabili siano indipendenti (lo span dei due vettori è chiaramente un sottospazio di R^4 equivalente ad R^2).
Se non ho sbagliato i calcoli, avrei una possibile spiegazione: nell'eserciziario viene prima di tutto effettuato un cambiamento di base (del dominio) dell'applicazione lineare verso quella canonica, e poi trovata l'equazione cartesiana dell'immagine. Non vi annoio con i dati, voglio solo sapere se un cambiamento di base varia o no l'equazione cartesiana (io ho sempre dato per scontato che l'equazione non cambi, forse ingenuamente).
Risposte
nvm nvm
dopo averci sbattuto la testa per questa mezz'oretta ho concluso che:
1) cambiare la base del dominio fa cambiare l'equazione dell'immagine,
2) poiché l'immagine vive in R^2 e il codominio sia R^4, l'equazione dell'immagine può essere data secondo varie scelte dei vettori colonna di M(f), cioè al variare della base scelta per l'immagine, si ha un'equazione diversa. In generale, ogni volta che la funzione non è suriettiva si ha questa ambiguità/libertà nella scelta della base.
dopo averci sbattuto la testa per questa mezz'oretta ho concluso che:
1) cambiare la base del dominio fa cambiare l'equazione dell'immagine,
2) poiché l'immagine vive in R^2 e il codominio sia R^4, l'equazione dell'immagine può essere data secondo varie scelte dei vettori colonna di M(f), cioè al variare della base scelta per l'immagine, si ha un'equazione diversa. In generale, ogni volta che la funzione non è suriettiva si ha questa ambiguità/libertà nella scelta della base.
In questi casi adopero il metodo della riduzione per righe. Precisamente si consideri la matrice:
\begin{bmatrix}1 &5&4&3 \\ 1&-2&-3&-2&\\x&y&z&t\end{bmatrix}
Riducendo per righe si ha la matrice:
\begin{bmatrix}1 &5&4&3 \\ 0&3&1&1&\\0&0&-7x-y+3z&-4x-y+3t\end{bmatrix}
Eguagliando a zero i termini non nulli della terza riga si ottiene il sistema:
\begin{cases}7x+y-3z=0\\4x+y-3t=0\end{cases}
Con qualche piccola modifica si ha pure:
\begin{cases}4x+y-3t=0\\x-z+t=0\end{cases}
\begin{bmatrix}1 &5&4&3 \\ 1&-2&-3&-2&\\x&y&z&t\end{bmatrix}
Riducendo per righe si ha la matrice:
\begin{bmatrix}1 &5&4&3 \\ 0&3&1&1&\\0&0&-7x-y+3z&-4x-y+3t\end{bmatrix}
Eguagliando a zero i termini non nulli della terza riga si ottiene il sistema:
\begin{cases}7x+y-3z=0\\4x+y-3t=0\end{cases}
Con qualche piccola modifica si ha pure:
\begin{cases}4x+y-3t=0\\x-z+t=0\end{cases}
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