Equazione cartesiana di un sottospazio vettoriale

[caronte559]

Ciao a tutti, vorrei un consiglio su come risolvere una parte di un esercizio:

In pratica ho uno spazio vettoriale $R^4$ ed un sottospazio $X$ costituito dai vettori:
$x_1=(5+h,1,1,1)$,$x_2=(-12,h-2,-3,h)$,$x_3=(h-12,h-2,-3,h)$

L'esercizio mi chiede di ricavarmi tra le altre cose le equazioni cartesiane di $X$ al variare di $h \in R$

Allora, quando $x_1,x_2,x_3$ sono linearmente indipendenti ho pensato di ricavarmi l'equazione dell'iperpiano per 4 punti che sono i 3 vettori piu' l'origine del sistema.

Non so cosa fare quando, ad es. per $h=0$ $x_2$ e $x_3$ sono dipendenti.
Come li ricavo i 2 iperpiani che mi danno tramite l'intersezione l'equazione cercata?

[franced]

Nei casi in cui i tre vettori sono lin. indipendenti l'equazione cartesiana
del sottospazio è la seguente:

$det ((5+h,-12,h-12,x_1),(1,h-2,h-2,x_2),(1,-3,-3,x_3),(1,h,h,x_4)) = 0$ .

Nei casi "critici" (ovvero quando la dimensione del sottospazio è $< 3$) agisci invece
in questo modo:
di volta in volta sostituisci al parametro $h$ il valore "critico" e segui l'eliminazione
di Gauss sulla matrice che ho scritto sopra; alla fine avrai l'equazione cartesiana.

[caronte559]

Perfetto grazie

[franced]

"franced":Nei casi in cui i tre vettori sono lin. indipendenti l'equazione cartesiana
del sottospazio è la seguente:

$det ((5+h,-12,h-12,x_1),(1,h-2,h-2,x_2),(1,-3,-3,x_3),(1,h,h,x_4)) = 0$ .

Nei casi "critici" (ovvero quando la dimensione del sottospazio è $< 3$) agisci invece
in questo modo:
di volta in volta sostituisci al parametro $h$ il valore "critico" e segui l'eliminazione
di Gauss sulla matrice che ho scritto sopra; alla fine avrai l'equazione cartesiana.

Per finire l'esercizio, ho fatto i calcoli.

L'equazione del sottospazio, se $h \ne 0$, risulta essere:

$(h^2 + 3h) x_2 - 2h x_3 + (-h^2 - h) x_4 = 0$ .

Nel caso $h = 0$ abbiamo invece le equazioni seguenti:

${(x_1 - 3 x_2 - 2 x_3 = 0),(3 x_2 - 2 x_3 - x_4 = 0):}$