Equazione cartesiana di un iperpiano affine

[star891]

buon pomeriggio a tutti ragazzi!
vorrei che qualcuno mi aiutasse in un problema di geometria affine..
devo scrivere un programma su maple che mi risolvi il seguente problema:
dati k punti $P_1,...P_k $determinare l'equazione dell' iperpiano affine passante per questi punti.Dire inoltre quando il piano è univocamente determinato..

il linguaggio di maple lo conosco ma vorrei un aiuto "teorico"..avendo dei dubbi
é vero che l'iperpiano è univocamente determinato se i punti sono linearmente indipendenti ovvero il determinante della matrice formata dai vettori delle coordinate dei punti (mi trovo in$R^n$) è diverso da zero?
inoltre l'equazione dell'iperpiano si trova ponendo uguale a zero il determinante della matrice con le coordinate dei k punti sulle prime k colonne e sull ultima colonna il vettore $(x_1,..x_n) $?

[cirasa]

Ti trovi in [tex]\mathbb{R}^n[/tex] con la sua struttura affine standard.

Forse ti può essere utile ricordare che
1) gli iperpiani sono sottospazi affini di dimensione [tex]n-1[/tex];
2) per individuare un iperpiano affine occorrono e bastano [tex]n[/tex] suoi punti affinemente indipendenti;
3) dato un iperpiano affine [tex]\pi[/tex] individuato da un punto [tex]P_0[/tex] e da un sottospazio vettoriale [tex]V[/tex] di [tex]\mathbb{R}^n[/tex] (con [tex]\dim V=n-1[/tex]), scelto un vettore non nullo [tex]n[/tex] normale a [tex]V[/tex], l'equazione dell'iperpiano è [tex]\pi: n\cdot \overline{PP_0}=0[/tex], dove [tex]\cdot[/tex] è il prodotto scalare standard in [tex]\mathbb{R}^n[/tex].

Buon lavoro!

[star891]

grazie mille!!
i primi due suggerimenti li conoscevo ma non so come possono essermi utili...
inoltre il programma dovrebbe funzionare dando in input $k$ punti...
come faccio a legare il $k$ con $n$?ovvero se $kn$ avrei dei punti in più ..dunque è in questo caso che il piano non è univocamente determinato?

[cirasa]

Dati in input $k$ punti, innanzitutto devi capire quanti di essi sono affinemente indipendenti. Sia $s$ tale numero.
Se $s=n+1$ ($s>n+1$ è impossibile, perchè?), allora tali punti generano l'intero spazio affine.
Se $s=n$, allora definiscono un unico iperpiano affine. Qual è la giacitura di tale iperpiano?
Se $s

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[star891]

se $s=n$ lo spazio direttore è formato dai vettori $P_0P_i$ con $i=1..s$ (credo)

vorrei chiedere inoltre una cosa forse un po' ingenua..
in questo forum ho trovato un esercizio che chiede di trovare l'equazione di un sottospazio vettoriale date le coordinate di 3 punti(l ambiente è $R^4)$;
nel caso in cui i vettori delle coordinate sono linearmente indipendenti l'equazione dell iperpiano si trova ponendo uguale a zero
il determinante della matrice sulle cui colonne ci sono le coordinate dei punti.é applicabile anche nel mio esercizio?

intanto e comunque grazie!!

[cirasa]

"star89":se $s=n$ lo spazio direttore è formato dai vettori $P_0P_i$ con $i=1..s$ (credo)

Se $s=n$, hai i punti $P_0,P_2,...,P_{s-1}$. Lo spazio direttore è formato dai vettori $P_0P_i$ con $i=1,...,s-1$.
Quindi hai lo spazio direttore $V=$ di dimensione $s-1=n-1$.
Il tuo iperpiano affine è individuato dal punto $P_0$ e dal sottospazio $V$ di $RR^n$.

"star89":in questo forum ho trovato un esercizio che chiede di trovare l'equazione di un sottospazio vettoriale date le coordinate di 3 punti(l ambiente è $R^4)$;
nel caso in cui i vettori delle coordinate sono linearmente indipendenti l'equazione dell iperpiano si trova ponendo uguale a zero
il determinante della matrice sulle cui colonne ci sono le coordinate dei punti.é applicabile anche nel mio esercizio?

Secondo me, stai facendo confusione fra i concetti di iperpiano vettoriale ed iperpiano affine.
Facciamo un po' di ordine:
1. Dato uno spazio vettoriale $W$ di dimensione $n$, un iperpiano vettoriale di $W$ è un sottospazio vettoriale $V$ di $W$ di dimensione $n-1$ (e la sua equazione rispetto ad una base fissata di $W$ si calcola nel modo in cui più o meno hai spiegato nel tuo messaggio).
2. Dato uno spazio affine, un iperpiano affine è univocamente individuato da un punto $P_0$ e da un sottospazio vettoriale $V$ di dimensione $n-1$.
Ti dò un risultato importante a proposito degli iperpiani affini (vabbè in realtà vale per qualsiasi sottospazio affine).

Consideriamo l'iperpiano affine individuato da un punto $P_0$ e dallo spazio direttore $V$. Sia $P$ un punto qualsiasi.
Allora $P$ appartiene all'iperpiano affine se e solo se $PP_0\in V$.

Ora, se sai l'equazione del sottospazio vettoriale $V$ (dal punto 1.), tenendo conto di questo risultato...

[star891]

mi scuso per l'assenza ma sono stata poco bene..ora finalmente posso riprendere a studiare!!
mi chiedo come faccio a sapere quanti dei miei $k$ punti di $R^n$ sono affinemente indipendenti?...

so che se la matrice delle coordinate ha rango massimo(nel mio caso è il minimo tra $n$ e $k$) allora i $k$ punti sono affinemente indipendenti..ma se il rango non è massimo?

vi ringrazio in anticipo!

[cirasa]

Innanzitutto un piccolo chiarimento (non ho capito se ti è chiaro o meno, preferisco sottolinearlo).
Supponiamo per esempio che tu abbia tre punti $P_0,P_1,P_2$.
Per vedere se sono affinemente indipendenti devi controllare la lineare indipendenza dei due vettori $P_0P_1,P_0P_2$.

In generale, se hai $k+1$ punti $P_0,P_1,...,P_k$ devi controllare la matrice delle componenti dei $k$ vettori $P_0P_1,...,P_0P_k$ (e non della matrice delle coordinate di $P_0,P_1,...,P_k$).
Se tale rango $r$ è massimo, allora sono affinemente indipendenti, altrimenti non lo sono.
Il numero di punti affinemente indipendenti è $r+1$.

Spero di aver risposto alla tua domanda.
Se ci sono problemi, chiedi pure.

[star891]

chiarissimo....e sono riuscita a concludere l esercizio!!!!il programma funziona ..l ho verificato con degli esempi facili...!
grazie mille!