Eqa
a
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Non è difficile. Devi solo usare la definizione di matrice associata $A$.
Inizia a capire qual è l'immagine mediante $T$ dei vettori della base canonica di $RR^4$.
Inizia a capire qual è l'immagine mediante $T$ dei vettori della base canonica di $RR^4$.
Forse ci sono...$T(1,0,0,0)=((0,1),(-1,0))*(-1)+((-1,1),(2,0))*1$ e così via per ogni vettore della base naturale giusto??
Esatto, hai semplicemente usato la definizione di matrice associata.
Dopo aver calcolato l'immagine di ogni vettore della base canonica, puoi ottenere
[tex]T(x,y,z,t)=x\,T(1,0,0,0)+y\,T(0,1,0,0)+z\,T(0,0,1,0)+t\,T(0,0,0,1)=...[/tex]
Dopo aver calcolato l'immagine di ogni vettore della base canonica, puoi ottenere
[tex]T(x,y,z,t)=x\,T(1,0,0,0)+y\,T(0,1,0,0)+z\,T(0,0,1,0)+t\,T(0,0,0,1)=...[/tex]
Aspetta mi è sorto un dubbio:( lui mi chiede di determinare le equazioni di f rispetto le basi canoniche di $RR^4$ e $M_2*_2(RR)$ no?
Quindi la base $B$ che mi da lui non centra niente no?
Perchè devo considerare un altra base e di conseguenza cambia la matrice associata etc...
in poche parole io non ho fatto il procedimeno per ricavare le equazioni rispetto la base canonica di $RR^4$ e $B$ ?
Quindi la base $B$ che mi da lui non centra niente no?
Perchè devo considerare un altra base e di conseguenza cambia la matrice associata etc...
in poche parole io non ho fatto il procedimeno per ricavare le equazioni rispetto la base canonica di $RR^4$ e $B$ ?
Per determinare l'equazione rispetto alla basi canoniche, devi capire, dato un vettore $v\inRR^4$ con componenti $(x,y,z,t)$ rispetto alla base canonica, come sono fatte le componenti del trasformato di $v$ rispetto alla base canonica di $M_{2,2}(RR)$.
Cioè proprio quello che stiamo cercando di fare.
La base $B$ serve per definire il tuo omomorfismo. Naturalmente se cambi la base $B$, ma lasci inveriata la matrice, cambia anche l'omomorfismo $T$...Spero di aver compreso la tua domanda e di aver risposto, altrimenti prova a spiegarti meglio
Cioè proprio quello che stiamo cercando di fare.
La base $B$ serve per definire il tuo omomorfismo. Naturalmente se cambi la base $B$, ma lasci inveriata la matrice, cambia anche l'omomorfismo $T$...Spero di aver compreso la tua domanda e di aver risposto, altrimenti prova a spiegarti meglio
"Per determinare l'equazione rispetto alla basi canoniche, devi capire, dato un vettore v∈ℝ4 con componenti (x,y,z,t) rispetto alla base canonica, come sono fatte le componenti del trasformato di v rispetto alla base canonica di M2,2(ℝ). "
Grazie per l'aiuto intanto sono in grande difficoltà
.
Ma noi stavamo lavorando con $B$,non con la base canonica di M2,2(R)...è qua che non capisco...
cioè dal momento che mi dice di ricavarle rispetto la base canonica di M2,2 R allora $B$ non mi serve a niente no??
Grazie per l'aiuto intanto sono in grande difficoltà
.Ma noi stavamo lavorando con $B$,non con la base canonica di M2,2(R)...è qua che non capisco...
cioè dal momento che mi dice di ricavarle rispetto la base canonica di M2,2 R allora $B$ non mi serve a niente no??
Ma se non avesse dato la base $B$ non sarebbe definita l'applicazione $T$!
Quello che voglio dire è questo: definisco l'applicazione lineare $T$ mediante la sua matrice associata rispetto alla base canonica di $RR^4$ e alla base $B$ di $M_{2,2}(RR)$ (ed è qui che serve la base $B$, se non ci fosse non sapremmo come è definita $T$).
Ora cerco di capire come agisce questa applicazione $T$, passando alla basi canoniche sia di nello spazio di partenza che in quello di arrivo...E' più chiaro ora?
Quello che voglio dire è questo: definisco l'applicazione lineare $T$ mediante la sua matrice associata rispetto alla base canonica di $RR^4$ e alla base $B$ di $M_{2,2}(RR)$ (ed è qui che serve la base $B$, se non ci fosse non sapremmo come è definita $T$).
Ora cerco di capire come agisce questa applicazione $T$, passando alla basi canoniche sia di nello spazio di partenza che in quello di arrivo...E' più chiaro ora?
OK provo a fare l'esercizio allora...come detto prima $T(1,0,0,0)=((-1,0),(3,0));T(0,1,0,0)=((-1,1),(3,0));T(0,0,1,0)=((1,1),(-3,1));T(0,0,0,1)=((2,-1),(-6,0))$ se non ho fatto male i conti.
Adesso cosa devo fare?Questi sono i trasformati della base canonica rispetto $B$ giusto?
Adesso cosa devo fare?Questi sono i trasformati della base canonica rispetto $B$ giusto?
"matteomors":
Questi sono i trasformati della base canonica rispetto $B$ giusto?
No, questi sono solo i trasformati dei vettori della base canonica. $B$ ora non centra più.
Ora hai quasi finito. Non voglio dirti passo passo cosa devi fare. Vorrei che tu avessi chiaro cosa stai cercando, perchè se tu lo sapessi vedresti facilmente la strada che devi seguire.
Cosa vuoi trovare? Le equazioni di $T$ rispetto alle basi canoniche.
Cosa rappresentano queste equazioni? Prendo un vettore $v$ in $RR^4$ di componenti $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ rispetto alla base canonica di $RR^4$ (scusami, prima le componenti le avevo chiamate $x,y,z,t$), calcolo $T(v)$, trovo le componenti $(y_1,y_2,y_3,y_4)$ di $T(v)$ rispetto alla base canonica di $M_{2,2}(RR)$. Le equazioni di $T$ ti dicono come ognuno dei $y_1,y_2,y_3,y_4$ dipende da $x_1,x_2,x_3,x_4$.
Spero di averti aiutato. Se ci sono problemi chiedi pure.
In pratica $B$ ci è servita per stabilire i trasformati della base canonica, adesso per trovare le equazioni mi basta trovare i componenti di questi trasformati rispetto la base che mi dice il testo?
Allora devo trovare le componenti di $T(v)$ rispetto la base canonica di $M_2,_2$. Ovviamente per $(0,0,0,1)=[-1,0,3,0]$ e cosi via no?
Allora devo trovare le componenti di $T(v)$ rispetto la base canonica di $M_2,_2$. Ovviamente per $(0,0,0,1)=[-1,0,3,0]$ e cosi via no?
Provo a completare io:
Se $v$ è un vettore di $RR^4$ con componenti $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ rispetto alla base canonica, si ha che
$T(v)=T(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1T(1,0,0,0)+x_2T(0,1,0,0)+x_3T(0,0,1,0)+x_4T(0,0,0,1)=$
$=x_1((-1,0),(3,0))+x_2((-1,1),(3,0))+x_3((1,1),(-3,1))+x_4((2,-1),(-6,0))$
$=((-x_1,0),(3x_1,0))+((-x_2,x_2),(3x_2,0))+((x_3,x_3),(-3x_3,x_3))+((2x_4,-x_4),(-6x_4,0))$
$=((-x_1-x_2+x_3+2x_4,x_2+x_3-x_4),(3x_1+3x_2-3x_3-6x_4,x_3))$
(Ho ripreso i tuoi conti, spero siano giusti).
Le componenti di $T(v)$ rispetto alla base canonica di $M_{2,2}(RR)$ sono facili da determinare. L'equazione dell'applicazione $T$ sono
${(y_1=-x_1-x_2+x_3+2x_4),(y_2=x_2+x_3-x_4),(y_3=3x_1+3x_2-3x_3-6x_4),(y_4=x_3):}$
Ti ritrovi con i miei conti e soprattutto con la teoria?
Edit: Un paio di modifiche, avevo saltato in due punti $=$.
Se $v$ è un vettore di $RR^4$ con componenti $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ rispetto alla base canonica, si ha che
$T(v)=T(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1T(1,0,0,0)+x_2T(0,1,0,0)+x_3T(0,0,1,0)+x_4T(0,0,0,1)=$
$=x_1((-1,0),(3,0))+x_2((-1,1),(3,0))+x_3((1,1),(-3,1))+x_4((2,-1),(-6,0))$
$=((-x_1,0),(3x_1,0))+((-x_2,x_2),(3x_2,0))+((x_3,x_3),(-3x_3,x_3))+((2x_4,-x_4),(-6x_4,0))$
$=((-x_1-x_2+x_3+2x_4,x_2+x_3-x_4),(3x_1+3x_2-3x_3-6x_4,x_3))$
(Ho ripreso i tuoi conti, spero siano giusti).
Le componenti di $T(v)$ rispetto alla base canonica di $M_{2,2}(RR)$ sono facili da determinare. L'equazione dell'applicazione $T$ sono
${(y_1=-x_1-x_2+x_3+2x_4),(y_2=x_2+x_3-x_4),(y_3=3x_1+3x_2-3x_3-6x_4),(y_4=x_3):}$
Ti ritrovi con i miei conti e soprattutto con la teoria?
Edit: Un paio di modifiche, avevo saltato in due punti $=$.
Sinceramente non tanto perchè è tutto il giorno che lavoro su ste cose e sono veramente fuso...spero di non chiedere una cavolata chiedendo invece le equazioni della trasformazione rispetto la base canonica di $RR^4$ e invece che la base canonica di $M_2,_2(RR)$ la base $B$?
Se c'è la fai a scriverle magari con anche questo esempio riesco a capirle e risalire alla teoria perchè in questo momento son davvero in confusione...grazie...
Se c'è la fai a scriverle magari con anche questo esempio riesco a capirle e risalire alla teoria perchè in questo momento son davvero in confusione...grazie...
"matteomors":
Se c'è la fai a scriverle magari con anche questo esempio riesco a capirle e risalire alla teoria perchè in questo momento son davvero in confusione...grazie...
E vabbè che sei in confusione, però almeno alla grammatica stai attento!
In ogni caso ora devo andare e non posso aiutarti. Se ho tempo lo faccio domani.
Ciao, buona serata!
Ahaha sono proprio andato:) esco anch'io che è meglio...grazie eh...buona serata anche a te!
Sia $v$ è un vettore di $RR^4$ con componenti $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ rispetto alla base canonica. Denotiamo con $z_1,z_2,z_3,z_4$ le componenti di $T(v)$ rispetto alla base $B$ di $M_{2,2}(RR)$.
Dalla definizione di $T$, si ha che l'equazione dell'applicazione $T$ rispetto alla base canonica di $RR^4$ e alla base $B$ sono:
${(z_1=-x_1+2x_3+x_4),(z_2=x_2+x_3-x_4),(z_3=x_1+x_2-x_3-2x_4),(z_4=x_3):}$
Il discorso è sempre lo stesso. Supponiamo di dover calcolare le equazioni di un'applicazione lineare $T:V\to W$ rispetto ad una base $B$ di $V$ e ad una base $B'$ di $W$ (con $"dim"V=n$ e $"dim"W=m$: calcoli la matrice $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(RR)$ associata a $T$ rispetto alle due basi $B$ e $B'$. Le equazioni sono:
${(y_1=\sum_{j=1}^na_{1j}x_j),(y_2=\sum_{j=1}^na_{2j}x_j),(...),(y_m=\sum_{j=1}^na_{mj}x_j):}$
Equivalentemente puoi prendere un generico vettore $v\in V$ di componenti $x_1,x_2,...,x_n$ rispetto alla base $B$, calcolare $T(v)$ e le sue componenti $y_1,y_2,...,y_m$ rispetto alla base $B'$. Le equazioni di $T$ rispetto alle basi $B$ e $B'$ descrivono come ognuno degli $y_i$ dipende da $x_1,x_2,...,x_n$.
Spero di non aver sbagliato a ricopiare e di non aver fatto nessun errore di indice...
Dalla definizione di $T$, si ha che l'equazione dell'applicazione $T$ rispetto alla base canonica di $RR^4$ e alla base $B$ sono:
${(z_1=-x_1+2x_3+x_4),(z_2=x_2+x_3-x_4),(z_3=x_1+x_2-x_3-2x_4),(z_4=x_3):}$
Il discorso è sempre lo stesso. Supponiamo di dover calcolare le equazioni di un'applicazione lineare $T:V\to W$ rispetto ad una base $B$ di $V$ e ad una base $B'$ di $W$ (con $"dim"V=n$ e $"dim"W=m$: calcoli la matrice $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(RR)$ associata a $T$ rispetto alle due basi $B$ e $B'$. Le equazioni sono:
${(y_1=\sum_{j=1}^na_{1j}x_j),(y_2=\sum_{j=1}^na_{2j}x_j),(...),(y_m=\sum_{j=1}^na_{mj}x_j):}$
Equivalentemente puoi prendere un generico vettore $v\in V$ di componenti $x_1,x_2,...,x_n$ rispetto alla base $B$, calcolare $T(v)$ e le sue componenti $y_1,y_2,...,y_m$ rispetto alla base $B'$. Le equazioni di $T$ rispetto alle basi $B$ e $B'$ descrivono come ognuno degli $y_i$ dipende da $x_1,x_2,...,x_n$.
Spero di non aver sbagliato a ricopiare e di non aver fatto nessun errore di indice...
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