Endomorfismo triangolabile con sottospazi invarianti
Un endomorfismo è triangolabile se e solo se ogni sottospazio invariante non nullo contiene almeno un autovettore.
Io ho pensato cosi:
Se $finEnd(V)$ triangolabile abbiamo che il polinomio caratteristico di $f$ (chiamiamolo $p_f$) ha tutte le radici nel campo. Prendiamo $U$ sottospazio $f-$invariante non nullo, abbiamo che $p_f=p_(f|_U)*q$, da cui $p_(f|_U)$ ha tutte le radici nel campo e quindi ha almeno un autovalore da cui $U$ contiene almeno un autovettore.
Se invece ogni sottospazio invariante non nullo contiene almeno un autovettore, guardo il polinomio caratteristico $p_f=a_nx^n+...+a_1x+a_0$. Abbiamo che $Ker(a_nf^n+...+a_1f+a_0I)$ è $f-$invariante e quindi contiene un autovettore, per cui esiste $λ_1$ autovalore di $f$. Il polinomio caratteristico diventa quindi $p_f=(x-λ_1)(b_(n-1)x^(n-1)+...+b_1x+b_0)$. Abbiamo che $Ker(b_(n-1)f^(n-1)+...+b_1f+b_0I)$ è $f-$invariante e quindi contiene un autovettore, per cui esiste $λ_2$ (che può essere uguale o diverso da $λ_1$) autovalore di $f$. Continuando con questo procedimento si arriva a mostrare che il polinomio caratteristico ha tutte le radici nel campo e quindi è triangolabile.
Vedete qualcosa di errato nel procedimento? Fatemi sapere, grazie.
Io ho pensato cosi:
Se $finEnd(V)$ triangolabile abbiamo che il polinomio caratteristico di $f$ (chiamiamolo $p_f$) ha tutte le radici nel campo. Prendiamo $U$ sottospazio $f-$invariante non nullo, abbiamo che $p_f=p_(f|_U)*q$, da cui $p_(f|_U)$ ha tutte le radici nel campo e quindi ha almeno un autovalore da cui $U$ contiene almeno un autovettore.
Se invece ogni sottospazio invariante non nullo contiene almeno un autovettore, guardo il polinomio caratteristico $p_f=a_nx^n+...+a_1x+a_0$. Abbiamo che $Ker(a_nf^n+...+a_1f+a_0I)$ è $f-$invariante e quindi contiene un autovettore, per cui esiste $λ_1$ autovalore di $f$. Il polinomio caratteristico diventa quindi $p_f=(x-λ_1)(b_(n-1)x^(n-1)+...+b_1x+b_0)$. Abbiamo che $Ker(b_(n-1)f^(n-1)+...+b_1f+b_0I)$ è $f-$invariante e quindi contiene un autovettore, per cui esiste $λ_2$ (che può essere uguale o diverso da $λ_1$) autovalore di $f$. Continuando con questo procedimento si arriva a mostrare che il polinomio caratteristico ha tutte le radici nel campo e quindi è triangolabile.
Vedete qualcosa di errato nel procedimento? Fatemi sapere, grazie.
Risposte
Personalmente, a me sembra filare tutto 
"Lebesgue":
Personalmente, a me sembra filare tutto
Ok, grazie mille
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