Endomorfismo su R2[x]
Ciao a tutti!
Qualcuno mi può mostrare come fare per dimostrare che l'endomorfismo di \(\displaystyle \Re_2[x] \) così definito \(\displaystyle f(a+bX+cX2)=aX \) ha un autospazio di dimensione \(\displaystyle 2 \)? Non so bene come procedere...
Grazie molte!
Qualcuno mi può mostrare come fare per dimostrare che l'endomorfismo di \(\displaystyle \Re_2[x] \) così definito \(\displaystyle f(a+bX+cX2)=aX \) ha un autospazio di dimensione \(\displaystyle 2 \)? Non so bene come procedere...
Grazie molte!
Risposte
Prima di tutto è necessario trovare la matrice associata a tale endomorfismo
Giusto!
Allora, io ho fatto così:
- ho scritto la matrice associata e mi è venuta \(\displaystyle \begin{Bmatrix} 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{Bmatrix} \)
- ho calcolato gli autovalori associati e mi viene un autovalore pari a \(\displaystyle 0 \) con molteplicità \(\displaystyle 3 \)
- ho calcolato gli autovettori associati all'autovalore \(\displaystyle 0 \) e mi vengono \(\displaystyle u_1(1,0,0)\)
e \(\displaystyle u_2(0,0,1) \)
e così ho dimostrato che l'autospazio ha dimensione \(\displaystyle 2 \). E' corretto?
Ti ringrazio per l'aiuto!
Allora, io ho fatto così:
- ho scritto la matrice associata e mi è venuta \(\displaystyle \begin{Bmatrix} 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{Bmatrix} \)
- ho calcolato gli autovalori associati e mi viene un autovalore pari a \(\displaystyle 0 \) con molteplicità \(\displaystyle 3 \)
- ho calcolato gli autovettori associati all'autovalore \(\displaystyle 0 \) e mi vengono \(\displaystyle u_1(1,0,0)\)
e \(\displaystyle u_2(0,0,1) \)
e così ho dimostrato che l'autospazio ha dimensione \(\displaystyle 2 \). E' corretto?
Ti ringrazio per l'aiuto!
Le idee e il procedimento sono corretti. Ci sono però un paio di inesattezze.
Ti faccio vedere come procederei io:
Prendiamo la base canonica: $ccB = {e_1, e_2,e_3}$ dove $e_1 = 1$, $e_2 = x$, $e_3 = x^2$.
$f(e_1)= x = e_2$; $f(e_2)= f(e_3)= 0$.
Quindi la matrice associata è $A= (f(e_1),f(e_2),f(e_3)) = ((0,0,0),(1,0,0),(0,0,0))$
$|A-lambda I| = |(-lambda,0,0),(1,-lambda,0),(0,0,-lambda)|= -lambda^3$.
Ecco, $lambda_1= 0$ è un autovalore che ha molteplicità algebrica $3$ e molteplicità geometrica $2$.
Ti faccio vedere come procederei io:
Prendiamo la base canonica: $ccB = {e_1, e_2,e_3}$ dove $e_1 = 1$, $e_2 = x$, $e_3 = x^2$.
$f(e_1)= x = e_2$; $f(e_2)= f(e_3)= 0$.
Quindi la matrice associata è $A= (f(e_1),f(e_2),f(e_3)) = ((0,0,0),(1,0,0),(0,0,0))$
$|A-lambda I| = |(-lambda,0,0),(1,-lambda,0),(0,0,-lambda)|= -lambda^3$.
Ecco, $lambda_1= 0$ è un autovalore che ha molteplicità algebrica $3$ e molteplicità geometrica $2$.
Perfetto!
Ho capito! Grazie molte!!!
Ho capito! Grazie molte!!!
Scusa la mia scarsa comprensione, ma potresti dirmi come calcolare la matrice associata?
"RNK":Intanto devi partire da una base $ccB= {e_1,e_2,...,e_n}$.
Scusa la mia scarsa comprensione, ma potresti dirmi come calcolare la matrice associata?
Io, come puoi vedere, ho scelto la base canonica di $RR_2[x]$, dunque ${(e_1=1),(e_2=x),(e_3=x^2):}$.
Per ciascun elemento $e_i$ della base ti trovi l'immagine $f(e_i)$.
Ecco, la matrice associata all'endomorfismo $f$ è la seguente: $A= (f(e_1), f(e_2),...,f(e_n))$.
Ogni $f(e_i)$ rappresenta la $i$-esima colonna della matrice $A$.
Nell'esempio sopra:
$f(e_1)= f(1)= x = 0e_1 + 1*e_2 + 0*e_3$; cioè $f((1),(0),(0)) = ((0),(1),(0))$
$f(e_2)= f(x)= 0 = 0e_1 + 0*e_2 + 0*e_3$; cioè $f((0),(1),(0))= ((0),(0),(0))$
$f(e_3)= f(x^2)= 0 = 0e_1 + 0*e_2 + 0*e_3$; cioè $f((0),(0),(1))= ((0),(0),(0))$
Non riesco a capire il calcolo di f(1), f(x) e f(x^2), so che probabilmente è una cosa scontata ma non riesco a capire come fare a calcolarli, scusami >.<
Potresti fare il calcolo prendendo come esempio "f(a+bX+cX^2) = bX^2" perfavore?
Potresti fare il calcolo prendendo come esempio "f(a+bX+cX^2) = bX^2" perfavore?
Ok. Ma dato che è un endomorfismo diverso dal precedente, gli dò un altro nome per non fare confusione:
\[ g(a+bX +c X^2) = b X^2\]
In questo caso, prendendo sempre la base canonica, si ha $g(e_1)=0$, $g(e_2)= x^2= e_3$, $g(e_3)= 0$
Quindi la matrice è $B=((0,0,0),(0,0,0),(0,1,0))$
\[ g(a+bX +c X^2) = b X^2\]
In questo caso, prendendo sempre la base canonica, si ha $g(e_1)=0$, $g(e_2)= x^2= e_3$, $g(e_3)= 0$
Quindi la matrice è $B=((0,0,0),(0,0,0),(0,1,0))$
EDIT: capito, scusami, sn molto indietro >.<
Come trovo la molteplicità geometrica? Prometto che poi non rompo più xD
Come trovo la molteplicità geometrica? Prometto che poi non rompo più xD
"RNK":Tieni presente che $e_1= 1=1+0 X + 0 X^2$, $e_2= X =0+1 X + 0 X^2$, $e_3= X^2= 0+0 X + 1 X^2$,
Ma come calcolo g(e1), g(e2) e g(e3)?
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