Endomorfismo semplice

[samagic]

Buongiornooo!!!
Ho questo esercizio: posta l'applicazione lineare $ f: RR^4 -> RR^4 $ definita da $ (x,y,z,t) = (x-y,-x+y,3z-t,-z+3t) $ devo verificare che $ f $ è semplice. Ora, secondo la teoria $ f $ è semplice se esiste una base $ C $ di $ V $ tale che la matrice $ C,C $ di $ f $ è diagonale. Ma non riesco a capire come si trova la base $ C $ di $ V $ ... Potrebbe essere la base dello spazio delle soluzioni della matrice?
Grazie a tutti!!

[cirasa]

Si tratta di un procedimento ultrastandard.
Controlla sui tuoi appunti o sul tuo libro perchè sicuramente il tuo prof ne ha già parlato.
In breve: scrivi la matrice associata ad $f$ rispetto alla base canonica*, calcola il polinomio caratteristico, trova gli autovalori (ed eventualmente gli autospazi corrispondenti), applica qualche teorema noto che ti garantisce la diagonalizzabilità.

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* A questo punto osserva la matrice. Può capitare che la matrice sia simmetrica. Questo fatto garantirebbe la diagonalizzabilità della matrice (perchè?)

[samagic]

Ogni matrice simmetrica è simile ad una matrice diagonale, perciò se una matrice è simmetrica sarà sicuramente diagonalizzabile.Io gli autovalori e gli autospazi li ho già trovati.ora provo a rifare l'esercizio e vediamo se salta fuori qualcosa di decente...grazie!