Endomorfismo "ristretto"
Buongiorno a tutti di nuovo.
Solito esercizio without soluzione.
Mi dà un endomorfismo T(x,y,z,t) = [4 equazioni in x,y,z e t] Sostituendo 1 in tutte le x,y,z,t abbiamo la matrice associata a T rispetto alla base canonica. Fin qui...
Poi mi da un sottospazio W con certe caratteristiche, mi dice di trovare la base B e di dimostrare che T(W) $sub$ W.
E fin qui...
A questo punto dice: sia S l'endomorfismo di W definito dalla restrizione di T a W. Trovare la matrice associata a S nella base B->B.
Di per sè l'esercizio dovrei saperlo fare.
Incolonno la base B e ho la matrice Mcb. E dico come al solito che:
$ M_{BB} = (M_{CB})^-1 * S * M_{CB} $
Il problema è che ignoro completamente cosa sia una restrizione. Non è che non so come trovarlo. Proprio non so cosa sia S e la mia ricerca su internet non ha prodotto molti risultati.
La mia ipotesi è questa:
Per dimostrare che T(W) $sub$ W, ho dovuto prendere le immagini T(W) e dimostrare che potevo scriverle come combinazione lineare dei vettori di W. I coefficienti di tali combinazioni, incolonnati a dovere, rappresentano la restrizione.
Tuttavia questa è un'ipotesi supportata esclusivamente dal fatto che "o così o bho".
Grazie per l'aiuto...
ciao!
Solito esercizio without soluzione.
Mi dà un endomorfismo T(x,y,z,t) = [4 equazioni in x,y,z e t] Sostituendo 1 in tutte le x,y,z,t abbiamo la matrice associata a T rispetto alla base canonica. Fin qui...
Poi mi da un sottospazio W con certe caratteristiche, mi dice di trovare la base B e di dimostrare che T(W) $sub$ W.
E fin qui...
A questo punto dice: sia S l'endomorfismo di W definito dalla restrizione di T a W. Trovare la matrice associata a S nella base B->B.
Di per sè l'esercizio dovrei saperlo fare.
Incolonno la base B e ho la matrice Mcb. E dico come al solito che:
$ M_{BB} = (M_{CB})^-1 * S * M_{CB} $
Il problema è che ignoro completamente cosa sia una restrizione. Non è che non so come trovarlo. Proprio non so cosa sia S e la mia ricerca su internet non ha prodotto molti risultati.
La mia ipotesi è questa:
Per dimostrare che T(W) $sub$ W, ho dovuto prendere le immagini T(W) e dimostrare che potevo scriverle come combinazione lineare dei vettori di W. I coefficienti di tali combinazioni, incolonnati a dovere, rappresentano la restrizione.
Tuttavia questa è un'ipotesi supportata esclusivamente dal fatto che "o così o bho".
Grazie per l'aiuto...
ciao!
Risposte
Problemissimo:
Mi sono appena accorto che la base B non è quadrata. Ergo $(Mcb)^-1$ non esiste.
Quindi, anche capendo cos'è la restrizione, l'esercizio non è così ovvio come pensavo.
Mi sono appena accorto che la base B non è quadrata. Ergo $(Mcb)^-1$ non esiste.
Quindi, anche capendo cos'è la restrizione, l'esercizio non è così ovvio come pensavo.
Rettifica della rettifica:
scrivere la matrice come incolonnamento dei coefficienti della combinazione lineare nella base B, vuol già dire che tale matrice sarà espressa nella base B. Quindi non bisogna cambiare base di nuovo, quindi se è rettangolare amen.
scrivere la matrice come incolonnamento dei coefficienti della combinazione lineare nella base B, vuol già dire che tale matrice sarà espressa nella base B. Quindi non bisogna cambiare base di nuovo, quindi se è rettangolare amen.
Ma intende 'restrizione' nel senso solito, di restrizione di una funzione a un sottoinsieme del suo insieme di definizione.Un endomorfismo è una funzione. Devi prendere la T solo su W e non su tutto R^4.
"pollo93":
[...] Mi sono appena accorto che la base B non è quadrata. [...]
What do you mean?
"gabriella127":
Ma intende 'restrizione' nel senso solito, di restrizione di una funzione a un sottoinsieme del suo insieme di definizione.Un endomorfismo è una funzione. Devi prendere la T solo su W e non su tutto R^4.
Dunque mi sembra corretto quello che ho proposto.
La matrice associata a questa restrizione saranno le immagini T(W) espresse come combinazione lineare della base di W.
Cioè
T(w1)=(....)= a w1 + b w2 + c w3
T(w2)=(....)=d w1 + e w2 + f w3
T(w3)=(...)=g w1 + h w2 + k w3
Questa è una restrizione?
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