Endomorfismo non suriettivo di un autospazio

[ovidiu1]

Ciao a tutti,

Detto che W è un piano di equazione: $ x+2y+3z+d=0 $ (che rappresenta il sottospazio di $ R^3 $ formato da tutti i vettori ortogonali al vettore: \( \overrightarrow{u}: \overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j} +3\overrightarrow{k} \). E' corretto fin qui?)

Ho trovato una base di W (dimensione 2) mettendo \( x=-2y-3z-d \). Quindi: \( Bw: {(-2,1,0),(-3,0,1)} \) .

Non riesco più a capire come procedere quando il problema mi chiede di trovare un endomorfismo NON suriettivo di $ R^3 $ avente W come autospazio associato all’autovalore 2.

Ringrazio in anticipo a chi vorrà darmi una mano a capire meglio.

[Sk_Anonymous]

Presumo che debba essere $d=0$. Per costruire l'endomorfismo $f$ richiesto basta porre ( per esempio) :
\(\displaystyle \begin{cases}f(-2,1,0)=2(-2,1,0)=(-4,2,0)\\f(-3,0,1)=2(-3,0,1)=(-6,0,2)\\f(1,0,0)=(-4,2,0)\end{cases} \)
Come è chiaro, risulta $Im(f)=<(-4,2,0),(-6,0,2)>$ e quindi $dim(Im(f))=2<3$ e questo assicura che l'endomorfismo così costruito non è suriettivo. Per esempio è facile verificare che il vettore $(1,1,0)$ ) [che non appartiene a $Im(f)$ perché fuori della retta congiungente i punti $(-4,2,0),(-6,0,2) $] non ha antimmagine.

[ovidiu1]

Ti ringrazio. Chiarissimo.