Endomorfismo in spazi di matrici
Buongiorno a tutti, avrei bisogno di un piccolo aiuto per quanto riguarda questo esercizio:
Scegliere una base per \(\displaystyle \mathbb{R}^{2,2} \)e trovare la matrice associata in tale base all'applicazione lineare \(\displaystyle f: \mathbb{R}^{2,2}\rightarrow \mathbb{R}^{2,2} \) definita come \(\displaystyle f(A)=A-A^T \). Trovare una base per il nucleo e l'immagine di tale applicazione.
Scegliendo la base canonica: \(\displaystyle \mathcal{B}= \left\{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\right\} \)
\(\displaystyle f \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} = E_1 - E_1\)
\(\displaystyle f \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} = E_2 - E_3\)
\(\displaystyle f\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} = E_3-E_2\)
\(\displaystyle f \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} = E_4-E_4\)
Quindi la matrice associata all'applicazione è:
\(\displaystyle M(f)=\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&1&-1&0\\0&-1&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix} \)
Dove l'immagine dell'applicazione coincide con lo spazio delle colonne generato dalla matrice, ma qui, escludendo i vettori nulli abbiamo solo una colonna linearmente indipendente, quindi:
\(\displaystyle \mathrm{Im}(f) = \mathcal{L}\left\{(0,1,-1,0)^T\right\} \)
Dove ovviamente il vettore considerato costituisce una base dell'immagine della mappa lineare.
Mentre per il nucleo come dovrei fare? trovare il nucleo di quella matrice? Se \(\displaystyle \mathrm{dim}(\mathrm{Im(f)}) = \mathrm{rk}(M(f)) = 1 \) mi aspetto che la nullità di \(\displaystyle f \) sia 4-1=3.
Ad ogni modo:
\(\displaystyle M(f)=\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&1&-1&0\\0&-1&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix}0&1&-1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}\)
Da cui le soluzioni del sistema omogeneo associato compongono il nucleo è esatto?
\(\displaystyle \begin{bmatrix}0&1&-1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a\\b\\c\\d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}\)
ossia questi vettori: \(\displaystyle (a,b,b,d)^T \)
\(\displaystyle \mathrm{Ker}(A) = \left\{\begin{pmatrix}a&b\\b&d\end{pmatrix} \ : \ a,b,d \in \mathbb{R}\right\} = \mathcal{L}\left\{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\right\} \)
Mi sembra che tutto torni, ma ogni volta faccio fatica a capire cosa vogliano dire i coefficienti del vettore che moltiplica la matrice associata all'applicazione... Insomma questa volta l'ho visto ad occhio che le matrici di questo tipo sono uguali alla trasposta quindi vanno in zero...
Forse ho capito... Quei coefficienti moltiplicano gli elementi della base che ho scelto, in questo caso quella canonica è esatto? Sono davvero i primi esercizi che sto facendo di questo tipo quindi mi trovo un po' spaesato... Confermate che tutto ciò è corretto e non ho preso fischi per fiaschi? Grazie tante!
(dovrei rifare lo stesso esercizio però con matrici in \(\displaystyle \mathbb{R}^{3,3} \)... Siccome la matrice associata alla mappa lineare esce con 81 entrate c'è un modo più veloce per trovare una base per immagine e nucleo? Grazie ancora)
Scegliere una base per \(\displaystyle \mathbb{R}^{2,2} \)e trovare la matrice associata in tale base all'applicazione lineare \(\displaystyle f: \mathbb{R}^{2,2}\rightarrow \mathbb{R}^{2,2} \) definita come \(\displaystyle f(A)=A-A^T \). Trovare una base per il nucleo e l'immagine di tale applicazione.
Scegliendo la base canonica: \(\displaystyle \mathcal{B}= \left\{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\right\} \)
\(\displaystyle f \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} = E_1 - E_1\)
\(\displaystyle f \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} = E_2 - E_3\)
\(\displaystyle f\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} = E_3-E_2\)
\(\displaystyle f \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} = E_4-E_4\)
Quindi la matrice associata all'applicazione è:
\(\displaystyle M(f)=\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&1&-1&0\\0&-1&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix} \)
Dove l'immagine dell'applicazione coincide con lo spazio delle colonne generato dalla matrice, ma qui, escludendo i vettori nulli abbiamo solo una colonna linearmente indipendente, quindi:
\(\displaystyle \mathrm{Im}(f) = \mathcal{L}\left\{(0,1,-1,0)^T\right\} \)
Dove ovviamente il vettore considerato costituisce una base dell'immagine della mappa lineare.
Mentre per il nucleo come dovrei fare? trovare il nucleo di quella matrice? Se \(\displaystyle \mathrm{dim}(\mathrm{Im(f)}) = \mathrm{rk}(M(f)) = 1 \) mi aspetto che la nullità di \(\displaystyle f \) sia 4-1=3.
Ad ogni modo:
\(\displaystyle M(f)=\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&1&-1&0\\0&-1&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix}0&1&-1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}\)
Da cui le soluzioni del sistema omogeneo associato compongono il nucleo è esatto?
\(\displaystyle \begin{bmatrix}0&1&-1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a\\b\\c\\d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}\)
ossia questi vettori: \(\displaystyle (a,b,b,d)^T \)
\(\displaystyle \mathrm{Ker}(A) = \left\{\begin{pmatrix}a&b\\b&d\end{pmatrix} \ : \ a,b,d \in \mathbb{R}\right\} = \mathcal{L}\left\{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\right\} \)
Mi sembra che tutto torni, ma ogni volta faccio fatica a capire cosa vogliano dire i coefficienti del vettore che moltiplica la matrice associata all'applicazione... Insomma questa volta l'ho visto ad occhio che le matrici di questo tipo sono uguali alla trasposta quindi vanno in zero...
Forse ho capito... Quei coefficienti moltiplicano gli elementi della base che ho scelto, in questo caso quella canonica è esatto? Sono davvero i primi esercizi che sto facendo di questo tipo quindi mi trovo un po' spaesato... Confermate che tutto ciò è corretto e non ho preso fischi per fiaschi? Grazie tante!
(dovrei rifare lo stesso esercizio però con matrici in \(\displaystyle \mathbb{R}^{3,3} \)... Siccome la matrice associata alla mappa lineare esce con 81 entrate c'è un modo più veloce per trovare una base per immagine e nucleo? Grazie ancora)
Risposte
Più intuitivamente e più sinteticamente:
A questo punto, scritte, rispettivamente, una generica matrice simmetrica e antisimmetrica, determinare almeno una base è quasi immediato.
Meglio evitare di esprimersi così. Il rischio è confondere un elemento dello spazio vettoriale con le sue componenti rispetto alla base naturale.
Appunto. Vista l'importanza concettuale, devi assolutamente chiarire.
Nucleo
$[A-A^t=0] rarr [A=A^t] rarr A$ simmetrica
Immagine
$[B=A-A^t] rarr [B^t=A^t-A] rarr [B=-B^t] rarr B$ antisimmetrica
A questo punto, scritte, rispettivamente, una generica matrice simmetrica e antisimmetrica, determinare almeno una base è quasi immediato.
"LogicalCake":
Dove, ovviamente, il vettore considerato costituisce una base dell'immagine della mappa lineare.
Meglio evitare di esprimersi così. Il rischio è confondere un elemento dello spazio vettoriale con le sue componenti rispetto alla base naturale.
"LogicalCake":
... ogni volta faccio fatica a capire cosa vogliano dire i coefficienti del vettore che moltiplica la matrice associata all'applicazione ...
Appunto. Vista l'importanza concettuale, devi assolutamente chiarire.
Vero, non avevo pensato così, grazie tante!
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