Endomorfismo e sottospazi invarianti
salve a tutti..volevo sapere come potrei fare, data una matrice che rappresenta un endomorfismo (ad esempio rispetto alla base canonica dello spazio), a trovare i sottospazi (di una data dimensione) invarianti per l'endomorfismo.
Ad esempio se sono su $R^3$ ed ho una matrice che mi rappresenta un endomorfismo $A$ rispetto alla base canonica come faccio a trovare i sottospazi $A$-invarianti di dimensione 2? O anche dimostrare che ne esistono?
Grazie..spero qualcuno mi risponda..
Ad esempio se sono su $R^3$ ed ho una matrice che mi rappresenta un endomorfismo $A$ rispetto alla base canonica come faccio a trovare i sottospazi $A$-invarianti di dimensione 2? O anche dimostrare che ne esistono?
Grazie..spero qualcuno mi risponda..
Risposte
Se hai studiato il polinomio minimo di un endomorfismo [tex]f:V\to V[/tex], allora una decomposizione dello spazio $V$ in sottospazi $f$-invarianti è la seguente
[tex]$ V=V'_{\lambda_1}\oplus...\oplus V'_{\lambda_k}[/tex]
dove [tex]\lambda_1,...,\lambda_k[/tex] sono gli autovalori distinti di [tex]f[/tex] e [tex]V'_{\lambda_i}=\ker((f-\lambda_iId)^{s_i})[/tex] (con $s_i$ indice di $lambda_i$ nel polinomio minimo di $f$).
Sto supponendo che il polinomio minimo dell'endomorfismo sia completamente riducibile sul campo.
Ulteriori informazioni in questa dispensa (pag. 11).
[tex]$ V=V'_{\lambda_1}\oplus...\oplus V'_{\lambda_k}[/tex]
dove [tex]\lambda_1,...,\lambda_k[/tex] sono gli autovalori distinti di [tex]f[/tex] e [tex]V'_{\lambda_i}=\ker((f-\lambda_iId)^{s_i})[/tex] (con $s_i$ indice di $lambda_i$ nel polinomio minimo di $f$).
Sto supponendo che il polinomio minimo dell'endomorfismo sia completamente riducibile sul campo.
Ulteriori informazioni in questa dispensa (pag. 11).
ok..ma non e' affatto facile calcolare il polinomio minimo senza dover prima ridurre la matrice in blocchi di jordan(quando si puo' fare)..altre idee?
Non è troppo difficile. 
Hai tante informazioni sul polinomio minimo che puoi sfruttare.
Sai che divide il polinomio caratteristico, sai che è monico, sai che se $lambda$ è un autovalore allora $(x-lambda)$ lo divide.
E' un po' che non faccio esercizi del genere, però secondo me per una matrice $3\times 3$ è un conto che si può fare anche a mano.
Hai tante informazioni sul polinomio minimo che puoi sfruttare.
Sai che divide il polinomio caratteristico, sai che è monico, sai che se $lambda$ è un autovalore allora $(x-lambda)$ lo divide.
E' un po' che non faccio esercizi del genere, però secondo me per una matrice $3\times 3$ è un conto che si può fare anche a mano.
che poi in realta' il nucleo di ogni polinomio valutato nel mio endomorfismo e' un sottospazio invariante..non necessariamente un polinomio che si annulla su di esso..quindi potrei sfruttae il polinomio caratteristico che e' calcolabile algoritmicamente..dico quello caratteristico e non un polinomio generico perche' su di esso posso trarre informazioni sulle dimensioni del nucleo prima di mettermi a calcolare ad esempio la potenza quinta della mia matrice..
Sinceramente non ho capito molto il tuo ultimo messaggio.
"Nucleo di un polinomio" è un termine che non ho mai sentito.
E comunque non è necessario calcolare la quinta potenza della matrice.
Il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico (che ha grado $3$ visto che la matrice è $3\times 3$), quindi il polinomio minimo ha grado al più $3$.
"Nucleo di un polinomio" è un termine che non ho mai sentito.
E comunque non è necessario calcolare la quinta potenza della matrice.
Il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico (che ha grado $3$ visto che la matrice è $3\times 3$), quindi il polinomio minimo ha grado al più $3$.
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