Endomorfismo e diagonalizzabilità ristretta.
Ciao a tutti, mi servirebbe un piccolo aiuto con il seguente problema, i punti 1 e 2 li ho già trovato ma il 3 e il 4 non riesco proprio a capire.
Si consideri l'endomor smo f : R3 -> R3 dato da
$f(x; y; z) = 1/2 (5x - y + z ; 4x - 2z ; 3x - 3y + z)$
.
.
.
3) Detto U il sottospazio di equazione cartesiana $x - y + z = 0$ veri care che la restrizione
di f ad U è un endomor smo di U.
4)Studiare la diagonalizzabilità di f ristretta ad U.
Questo è quello che ho provato a fare:
3) f ha dimensione 2 visto che $dim(R3 - U) = 2$
la base deve quindi essere del tipo $(h , k , -h+k) -> (1,0,-1)(0,1,1)$ è una base di U
ora che faccio? metto la base di U in f?
4)non ne ho proprio idea :\
Grazie
Si consideri l'endomor smo f : R3 -> R3 dato da
$f(x; y; z) = 1/2 (5x - y + z ; 4x - 2z ; 3x - 3y + z)$
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3) Detto U il sottospazio di equazione cartesiana $x - y + z = 0$ veri care che la restrizione
di f ad U è un endomor smo di U.
4)Studiare la diagonalizzabilità di f ristretta ad U.
Questo è quello che ho provato a fare:
3) f ha dimensione 2 visto che $dim(R3 - U) = 2$
la base deve quindi essere del tipo $(h , k , -h+k) -> (1,0,-1)(0,1,1)$ è una base di U
ora che faccio? metto la base di U in f?
4)non ne ho proprio idea :\
Grazie
Risposte
[mod="Martino"]Sposto in algebra lineare.[/mod]
Scusate se ho sbagliato sezione, comunque questa è una risposta che mi è stata data, secondo voi è corretta?
3) U ha dimensione 2, per verificare che f(U) è un endomorfismo, cioè U -> U si possono trovare due basi di U ad esempio:
b1 = (1 1 0)
b2 = (0 1 1)
poi fare f(b1) = 1/2(4, 4, 0) = (2 2 0) = 2b1
e f(b2) = 1/2(0, -2,-2) = (0,-1,-1) = -b2
l'immagine di f quindi ha come basi 2b1 e -b2 che sono anche basi U quindi l'immagine di f è proprio U
4) rispetto alle basi b1 e b2 di U la matrice associata ad f è gia diagonale, sarebbe:
A=
|2 0|
|0-1|
3) U ha dimensione 2, per verificare che f(U) è un endomorfismo, cioè U -> U si possono trovare due basi di U ad esempio:
b1 = (1 1 0)
b2 = (0 1 1)
poi fare f(b1) = 1/2(4, 4, 0) = (2 2 0) = 2b1
e f(b2) = 1/2(0, -2,-2) = (0,-1,-1) = -b2
l'immagine di f quindi ha come basi 2b1 e -b2 che sono anche basi U quindi l'immagine di f è proprio U
4) rispetto alle basi b1 e b2 di U la matrice associata ad f è gia diagonale, sarebbe:
A=
|2 0|
|0-1|
Ciao Pavz, benvenuto/a nel forum e buona permanenza 
Per la risoluzione del punto 3), se $b_1,b_2$ è la base di $U$ che hai fissato, è sufficiente verificare che $f(b_1)\in U$ e $f(b_2)\in U$.
Non ho controllato i tuoi conti. Se quelli che hai fatto nel tuo ultimo messaggio sono giusti, allora questo punto è risolto.
Anche qui, se i tuoi conti sono giusti, la tua risoluzione è giusta, cioè la restrizione di $f$ ad $U$ è diagonalizzabile e una base diagonalizzante è $b_1,b_2$.
Per i tuoi prossimi messaggi, cerca di imparare ad usare le formule (clic, all'inizio puoi usare il MathML se non conosci il LaTeX).
I tuoi messaggi appariranno più chiari. Grazie.
Se ci sono ancora dubbi, chiedi pure.
Per la risoluzione del punto 3), se $b_1,b_2$ è la base di $U$ che hai fissato, è sufficiente verificare che $f(b_1)\in U$ e $f(b_2)\in U$.
Non ho controllato i tuoi conti. Se quelli che hai fatto nel tuo ultimo messaggio sono giusti, allora questo punto è risolto.
Anche qui, se i tuoi conti sono giusti, la tua risoluzione è giusta, cioè la restrizione di $f$ ad $U$ è diagonalizzabile e una base diagonalizzante è $b_1,b_2$.
Per i tuoi prossimi messaggi, cerca di imparare ad usare le formule (clic, all'inizio puoi usare il MathML se non conosci il LaTeX).
I tuoi messaggi appariranno più chiari. Grazie.
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