Endomorfismo e determinazione vettori da condizione.
Definito l'endomorfismo assumendo $f((x),(y),(z)) = ((x),(x),(x+y+z))$. Trovare i vettori $v in R^3$ tali che $f(v) = ((1),(1),(0))$.
Esercizio che dovrebbe essere abbastanza banale, ovviamente non per me. Quindi vi chiedo, all'atto pratico, come si dovrebbe risolvere questa tipologia di esercizi ?
Esercizio che dovrebbe essere abbastanza banale, ovviamente non per me. Quindi vi chiedo, all'atto pratico, come si dovrebbe risolvere questa tipologia di esercizi ?
Risposte
Ciao.
1. Scrivi la matrice associata all'endomorfismo; sia essa $A$.
2. Risolvi il sistema lineare - non omogeneo - la cui matrice dei coefficienti è proprio $A$ e la cui matrice dei termini noti è $f(v)$.
Se ammette soluzione, allora vuol dire che $f(v)$ sta nell'immagine; altrimenti... che cosa succede? Prova a pensarci.
Buon lavoro.
Se hai dubbi fai un fischio.
1. Scrivi la matrice associata all'endomorfismo; sia essa $A$.
2. Risolvi il sistema lineare - non omogeneo - la cui matrice dei coefficienti è proprio $A$ e la cui matrice dei termini noti è $f(v)$.
Se ammette soluzione, allora vuol dire che $f(v)$ sta nell'immagine; altrimenti... che cosa succede? Prova a pensarci.
Buon lavoro.
Se hai dubbi fai un fischio.
Seguendo i 2 punti avrei
$A = ((1,0,0),(1,0,0),(1,1,1))$
ed il sistema
$S_1 = {(x=1),(x+y+z=0):}$
che ha come soluzioni $x = 1$, $y = -(t+1)$ e $z = t$. Tuttavia credo ci sia qualcosa (forse anche più che qualcosa
) che non va..
$A = ((1,0,0),(1,0,0),(1,1,1))$
ed il sistema
$S_1 = {(x=1),(x+y+z=0):}$
che ha come soluzioni $x = 1$, $y = -(t+1)$ e $z = t$. Tuttavia credo ci sia qualcosa (forse anche più che qualcosa
) che non va..
C'è un modo molto più veloce.
Notiamo subito che la x di un vettore che finisce in $(1,1,0)$ deve essere 1 (infatti $f(v) = ((1),(1), (1 + y+z))$). L'altra condizione aggiuntiva è che $1 + y + z = 0$
Quindi hai $z = - y - 1$, e a questo punto il gioco è fatto, il generico vettore che va in $(1,1,0)$ è fatto così:
$ ((1),(y), (-y-1))$ Al variare di y in R.
Ovviamente questo metodo è fatto apposta per l'esercizio, in generale devi costruirti la matrice associata come ha detto Paolo90.
Non ho capito ciò che hai fatto, se hai fatto
$A = ((1,0,0), (1,0,0),(1,1,1)) * ((x),(y),(z)) = ((1),(1),(0))$
Va bene.
Notiamo subito che la x di un vettore che finisce in $(1,1,0)$ deve essere 1 (infatti $f(v) = ((1),(1), (1 + y+z))$). L'altra condizione aggiuntiva è che $1 + y + z = 0$
Quindi hai $z = - y - 1$, e a questo punto il gioco è fatto, il generico vettore che va in $(1,1,0)$ è fatto così:
$ ((1),(y), (-y-1))$ Al variare di y in R.
Ovviamente questo metodo è fatto apposta per l'esercizio, in generale devi costruirti la matrice associata come ha detto Paolo90.
Non ho capito ciò che hai fatto, se hai fatto
$A = ((1,0,0), (1,0,0),(1,1,1)) * ((x),(y),(z)) = ((1),(1),(0))$
Va bene.
Il problema è che nelle soluzioni dell'esercizio il vettore è del tipo $((1),(y),(-y))$. Errore del mio prof.?
Eh, direi proprio, supponiamo sia vero ciò che dice il tuo professore.
Allora applicando la funzione a quel vettore si ottiene:
$f ( v ) = ((1),(1), (1+y-y)) = ((1),(1),(1))$
E come direbbe il mio professore di metodi
In algebra c'è un teorema che dice
$((1),(1),(1)) != ((1),(1),(0))$
Allora applicando la funzione a quel vettore si ottiene:
$f ( v ) = ((1),(1), (1+y-y)) = ((1),(1),(1))$
E come direbbe il mio professore di metodi
In algebra c'è un teorema che dice
$((1),(1),(1)) != ((1),(1),(0))$
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