Endomorfismo diagonalizzabile?

luda8489
L'endomorfismo è il seguente:

(x,y,z) tale che =(x+2y,-y,x+2z)

Si chiede di dire se è diagonalizzabile(A me non sembra in quanto per l'autovalore -1 ottengo che la molteplicità geometrica è maggiore di quella algebrica).
A seguire nell'esercizio è richiesta la matrice di diagonalizzazione ortonormale.E' possibile calcolarla pur non essendo diagonalizzabile?

Mi stò confondendo su qualcosa o giustifico il secondo quesito con un secco "impossibile"?

grazie mille

Risposte
mistake89
è impossibile che la molteplicità algebrica sia minore di quella geometrica...
rifai i calcoli, c'è sicuramente un errore!

cirasa
Secondo me, hai commesso un errore di conto, in quanto l'endomorfismo dovrebbe essere diagonalizzabile (a meno che gli errori di conto non li abbia commessi io :-D).
Se ti va, postaci il calcolo del polinomio caratteristico.

Gatto891
"luda":
(A me non sembra in quanto per l'autovalore -1 ottengo che la molteplicità geometrica è maggiore di quella algebrica).

Wow, in due anni di algebra lineare non mi era mai capitato un caso come questo :twisted:

Scherzi a parte, la molteplicità algebrica è sempre $\geq$ di quella geometrica; tra l'altro, se non ho sbagliato i calcoli, i tuoi autovalori sono 3 e tutti distinti quindi la tua matrice è sicuramente diagonalizzabile... io rileggerei un minimo la teoria.

Edit: Azz anticipato da addirittura due persone, sono lentissimo :D

luda8489
ERRORE DI CALCOLO...

Perdonatemi :-D

mariacristina87
carissimi colleghi buongiorno :) sviluppando il determinante in funzione della terza colonna,mi trovo il seguente polinomio caratteristico :
$ (2-t)(1-t)(-1-t)$

Autovalori: $t=2;t=1;t=-1$ poi $ma(2)=1,ma(1)=1,ma(-1)=1$

indovina
io mi sono trovata anche gli autospazi, per vedere la $mg$

$E(-1)=L(-1,1,-1/3)$ $m.g=1$

$E(1)=L(-1,0,1)$ $m.g=1$

$E(2)=L(0,0,0)$ $m.g=1$

m.g coincide con m.a quindi è diagonalizzabile

e una matrice diagonale (cioè quella contenente gli autovalori nella diagonale principale) è
$D=((-1,0,0),(0,1,0),(0,0,2))$

una matrice che diagonalizza è:
$P=((-1,-1,0),(1,0,0),(-1/3,1,0))$

(sperando di aver fatto bene)

mariacristina87
Boh :? io mi trovo in modo diverso ma ho riguardato piu' volte e non vedo nessun errore di calcolo comunque mi trovo cosi':
$V(2)=L{(0,0,1)}$
$V(1)=L{(-1,0,1)}$
$V(-1)=L{(-3,3,1)}$

Matrice $ P: P^-1AP=D $ e' questa $P=((0,-1,-3),(0,0,3),(1,1,1))$ e $D=((2,0,0),(0,1,0),(0,0,-1))$

indovina
hai ragione tu mariacristina

quando si fa il sistema, a $V(2)$ verrebbe tipo $(0,0,x_3)$ quindi altro non è che $(0,0,1)$

per il resto ci troviamo lo stesso.

mariacristina87
"clever":
hai ragione tu mariacristina

quando si fa il sistema, a $V(2)$ verrebbe tipo $(0,0,x_3)$ quindi altro non è che $(0,0,1)$

per il resto ci troviamo lo stesso.


si infatti ;-) grazie per la precisazione. :)

Gatto891
Un piccolo consiglio per luda... se l'appello non è proprio i prossimi giorni, vai a rivederti un pò di teoria prima degli esercizi perchè, anche capendo più o meno come fare gli esercizi, se un prof di geometria legge "la matrice non è diagonalizzabile perchè la molteplicità geometrica è maggiore di quella algebrica", a prescindere dai calcoli sbagliati (che capitano a chiunque) all'orale non ti ci ammette...

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