Endomorfismo diagonalizzabile

[Rebb10]

Ciao a tutti! Ho questo esercizio in cui non riesco a trovare il determinante della matrice...

Per ogni $a$ $in$ $RR$, sia $T_a$: $RR^4$ $rarr$ $RR^4$ l'endomorfismo dato da
$T_a$ (x)= (3x1+x2+2x3+ax4, -ax1+x2-ax3+ax4, 3x3+8x4, 2x3+3x4)
per quali valori di a l'endomorfismo $T_a$ è diagonalizzabile?

Grazie!

[cooper1]

perchè? dove ti blocchi? posta un po' di conti che hai fatto.

[Rebb10]

Se non sbaglio, la matrice diventa:
($T_a$-$\lambda$$\I$)= $((3-lambda, 1, 2 ,a),(-a, 1-lambda, -a, a),(0,0, 3-lambda, 8), (0,0,2,3-lambda))$
ed ottengo per il determinante: (3-$\lambda$)[(3-$\lambda$)^2(1-$\lambda$)+a(3-$\lambda$)] + (-8)[2(3-$\lambda$)(1-$\lambda$)+2a]
ma semplificando e tutto non riesco a trovare gli autovalori

[cooper1]

capisco poco quello che hai scritto (poni tutte le formule tra simbolo del dollaro $ che così è molto più chiaro ) ma mi sa che hai sbagliato a calcolare il determinante. a me sviluppando con Laplace lunga la 4° riga (e poi la 3° del determinante che risulta) viene:

$(lambda-3)^2[(3-lambda)(1-lambda)+a]-8[(3-lambda)(1-lambda)+a]$

ora raccogli le quadre e sviluppa i conti. dovresti ottenere $(lambda-7)(lambda+1)(lambda-(2+sqrt(1-a)))(lambda-(2-sqrt(1-a)))$ quindi con $a<=1$
a questo punto studi i vari casi

[Rebb10]

Grazie