Endomorfismo diagonalizzabile
Ciao a tutti ... sto preparando l'esame di algebra lineare, ma ho alcune difficoltà, qualcuno sa aiutarmi per favore? 
"Sia f un endomorfismo soluzione dell'equazione $ x^4-3x^2-4=0 $. Possiamo concludere che f è diagonalizzabile su $RR$?? e su $CC$??"
Premessa: se ho una matrice A, calcolo le soluzioni del polinomio caratteristico, trovo le basi degli autospazi, e so che $P^(-1)AP=D$ , dove P è la matrice che ha per colonne gli autovettori, D ha in diagonale gli autovalori e confrontando molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori alla fine so dire se la matrice A è diagonalizzabile.
In questo esercizio però non ho una matrice A, quindi non ho ben capito cosa devo fare ...
Le soluzioni dell'equazione data sono x=2, x=-2 (quindi in $RR$ sono gli unici risultati accettabili), x=i e x=-i (quindi in $CC$ ho quattro risultati) ... ora cosa devo fare?
Grazie
"Sia f un endomorfismo soluzione dell'equazione $ x^4-3x^2-4=0 $. Possiamo concludere che f è diagonalizzabile su $RR$?? e su $CC$??"
Premessa: se ho una matrice A, calcolo le soluzioni del polinomio caratteristico, trovo le basi degli autospazi, e so che $P^(-1)AP=D$ , dove P è la matrice che ha per colonne gli autovettori, D ha in diagonale gli autovalori e confrontando molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori alla fine so dire se la matrice A è diagonalizzabile.
In questo esercizio però non ho una matrice A, quindi non ho ben capito cosa devo fare ...
Le soluzioni dell'equazione data sono x=2, x=-2 (quindi in $RR$ sono gli unici risultati accettabili), x=i e x=-i (quindi in $CC$ ho quattro risultati) ... ora cosa devo fare?
Grazie
Risposte
L'esercizio dice che la tua applicazione lineare deve soddisfare quell'equazione.
Ora, il polinomio minimo di un endomorfismo $A$ e' il polinomio $f$ monico di grado minimo tale $f(A) = 0$ (la potenza ha il significato di composizione, il prodotto con elementi del campo ha il significato di prodotto della mappa lineare per il corrispondente elemento del campo e la somma ha il significato di somma di applicazioni lineari).
Quindi il polinomio minimo della trasformazione lineare che stai cercando dividera' il polinomio che e' ti e' stato dato. Ci sono diversi risultati sulle proprieta' del polinomio minimo, uno dei quali afferma che $A$ e' diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio minimo si spezza completamente e non ha radici multiple. In questo caso in effetti il polinomio di spezza completamente su $\mathbb{C}$ e non ha radici multiple, quindi la matrice sarebbe diagonalizzabile su $\mathbb{C}$ ma non su $\mathbb{R}$.
Ora, il polinomio minimo di un endomorfismo $A$ e' il polinomio $f$ monico di grado minimo tale $f(A) = 0$ (la potenza ha il significato di composizione, il prodotto con elementi del campo ha il significato di prodotto della mappa lineare per il corrispondente elemento del campo e la somma ha il significato di somma di applicazioni lineari).
Quindi il polinomio minimo della trasformazione lineare che stai cercando dividera' il polinomio che e' ti e' stato dato. Ci sono diversi risultati sulle proprieta' del polinomio minimo, uno dei quali afferma che $A$ e' diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio minimo si spezza completamente e non ha radici multiple. In questo caso in effetti il polinomio di spezza completamente su $\mathbb{C}$ e non ha radici multiple, quindi la matrice sarebbe diagonalizzabile su $\mathbb{C}$ ma non su $\mathbb{R}$.
Molto chiaro, grazie mille
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