Endomorfismo Autoaggiunto

[kika_17]

Ciao ... per favore qualcuno può aiutarmi ???

"Sia f un endomorfismo autoaggiunto di $RR^3$ rispetto al prodotto scalare standard. L'immagine è generata da v = $((1),(1),(0))$.
1. dimostrare che v è autovettore di f.
2. trovare il ker di f.
3. trovare, se esiste, una matrice ortonormale."

Non ho capito come si fa questo esercizio ... io so che v è il vettore che genera l'immagine, ma come faccio a trovare il ker se non ho la matrice? e se f è autoaggiunto rispetto al prodotto scalare standard, la matrice non è quella identica ???

Grazie

[Sk_Anonymous]

Deve aversi :
\(\displaystyle \begin{cases}f(e_1)=av\\f(e_2)=bv\\f(e_3)=cv\end{cases} \)
Ora è :
$(x,y,z)=xe_1+ye_2+ze_3$
e passando alle immagini :
$f(x,y,z)=x(av)+y(bv)+z(cv)= x((a),(a),(0)) +y((b),(b),(0))+x((c),(c),(0))=((ax+by+cz),(ax+by+cz),(0))$
Pertanto la matrice dell'endomorfismo è :
$ M=((a,b,c),(a,b,c),(0,0,0)) $
D'altra parte la matrice associata ad un endomorfismo autoaggiunto è simmetrica e quindi deve essere :
$b=a,c=0$
di modo che la M diventa :
$M'=((a,a,0),(a,a,0),(0,0,0))$
che è la matrice dell'endomorfismo. Volendo, è possibile particolarizzare il parametro a.
Abbiamo ora:
$f(v) =M'v=((a,a,0),(a,a,0),(0,0,0))((1),(1),(0))=((2a),(2a),(0))=2a((1),(1),(0))=2a(v)$
e questo prova che v è autovettore.
Il resto dovrebbe esserti possibile.