Endomorfismo al variare di h
ciao a tutti!!... ho anch'io qualche problemuccio e spero che qualcuno saprà trovare del tempo per aiutarmi
ecco la traccia:
Sia $ f: RR ^{3} $ $ -> $ $ RR ^{3} $ l'applicazione definita da f(x, y, z) = (x-z, hx - hz, -x +z)
i) Trovare al variare di h: dimKerf; dimImf; una base per il nucleo e una per l'immagine
ii) Calcolare la controimmagine del vettore (0, 0, 0): $ f^-1 $
iii)Dopo aver verificato che B=((-1, 2, 1),(0, 0, 2),(0, -1, 5)) è una base di $ RR ^{3} $, scrivere la matrice associata all'applicazione lineare f rispetto alla base B nel dominio e nel codominio
iv)Determinare per quali valori del parametro f è semplice
v)Per h=0 determinare una base di $ RR ^{3} $ formata da autovettori
allora..
i) Trovare al variare di h: dimKerf; dimImf; una base per il nucleo e una per l'immagine
la matrice associata all'endomorfismo è A= $ ( ( 1 , 0 , -1 ),( h , 0 , -h ),( -1 , 0 , 1 ) ) $
le tre righe sono proporzionali, quindi il rango di A è 1, indipendentemente dal valore di h, giusto?
concludo che $ dimImf=1 $ per $ AA h in RR $
una base dell'imagine è $ B(imf)=((1, h, -1)) $
per trovare il nucleo:$ AX=0 $ quindi:
$ { ( x -z = 0 ),(x - v.l. ),(y - v.l. ):} $ e ottengo $ { ( x = z ),(x - v.l. ),(y - v.l. ):} $
quindi Kerf= {( x, y, x) : $ x,y in RR $ }, dimKerf=2
una base del nucleo è $ B(kerf) $=((1, 0, 1),(0, 1, 0))
giusto fin qui?
poi...
ii) Calcolare la controimmagine del vettore $ (0, 0, 0) $: $ f^-1 $
devo trovare un vettore di cui l'immagine sia (0, 0, 0)
$ AX=B $ dove il vettore $ B $ è quello nullo, quindi il sistema è identico a quello utilizzato per trovare il nucleo e quindi anche la soluzione è la stessa...
come dovrei scrivere!? $ f^-1 $=Kerf={( x, y, x) : $ x,y in RR $ }??
iii)Dopo aver verificato che $ B $=((-1, 2, 1),(0, 0, 2),(0, -1, 5)) è una base di $ RR ^{3} $, scrivere la matrice associata all'applicazione lineare $ f $ rispetto alla base $ B $ nel dominio e nel codominio.
Per dimostrare che i vettori $ (-1, 2, 1),(0, 0, 2) $ e $ (0, -1, 5) $ formano una base di $ RR ^{3} $, devo verificare se sono linearmente indipendenti.. Allora calcolo $ | ( -1 , 2 , 1 ),( 0 , 0 , 2 ),( 0 , -1 , 5 ) | $ = $ -1 != 0 $
quindi i vettori sono lin. ind. e formano una base di $ RR ^{3} $
mm... e qui comincio a perdermi...
$ f: RR ^{3} $ $ -> $ $ RR ^{3} $
calcolo le immagini:
f(-1, 2, 1)= (-2, -2h, 2)
f(0, 0, 2)= (-2, -2h, 2)
f(0, -1, 5)= (-5, -5h, 5)
e sono puntualmente proprorzionali... devo, dunque, considerarne solo uno!? per esempio, dicendo che
$ A= ( ( 1 , 0 , -1 ) ) $
e da $ a( -1 , 2 , 1 ) + b( 0, 0, 2) + c(0, -1, 5)= (-2, -2h, 2) $ ottengo
la matrice rispetto alla base $ B $:
M= $ ( ( 2 ),( 10h+20 ),( 2h+4 ) ) $ ????
iv)Determinare per quali valori del parametro f è semplice
nel polinomio caratteristico non compare l'$ h $...
scrivo immediatamente gli autovalori... sperando che i calcoli siano corretti (almeno quelli!!)
$ λ1=0 $ $ ma(0)=2 $
$ λ2=2 $ $ ma(2)=1 $
quindi, affinchè f sia semplice, devo dimostrare che dimV(λ1)=m(λ1)=2
$ dimV(λ1) = n - r(A- (λ1)In) = 3 - 1 = 2 $ $ rArr $ $ f $ è semplice ( $ AA h in RR $ )
è corretto??
e infine...
v)Per h=0 determinare una base di $ RR ^{3} $ formata da autovettori
per h=0 la matrice di partenza è composta da una sola riga: $ ( ( 1 , 0 , -1 ) ) $ e siccome il primo autovalore è 0 non viene modificata.. quindi nel sistema lineare ho solo un'equazione...
Vλ1 è dato da $ (A-(λ1)In)X=0 $... risolto il sistema lineare, ottengo:
Vλ1={(x, y, x) : $ x,y in RR $ }=<(1,0,1),(0,1,0)>
nel caso di λ2...
$ (A-(λ2)In)X=0 $ abbiamo
$ ( ( -1 , 0 , -1 ),( 0 , -2 , 0 ),( -1 , 0 , -1 ) ) $ $ ( ( x ),( y ),( z ) ) $ =0
e Vλ2={(x, 0, -x): $ x in RR $ } =<(1, 0, -1)>
non sono questi gli autovettori? (1,0,1),(0,1,0) e (1,0,-1)?
e quindi B($ RR^3 $)= ((1,0,1),(0,1,0),(1,0,-1))...
è così??
grazie a chiunque legga il post e cerchi di essere utile, anche solo in parte
grazie
ecco la traccia:
Sia $ f: RR ^{3} $ $ -> $ $ RR ^{3} $ l'applicazione definita da f(x, y, z) = (x-z, hx - hz, -x +z)
i) Trovare al variare di h: dimKerf; dimImf; una base per il nucleo e una per l'immagine
ii) Calcolare la controimmagine del vettore (0, 0, 0): $ f^-1 $
iii)Dopo aver verificato che B=((-1, 2, 1),(0, 0, 2),(0, -1, 5)) è una base di $ RR ^{3} $, scrivere la matrice associata all'applicazione lineare f rispetto alla base B nel dominio e nel codominio
iv)Determinare per quali valori del parametro f è semplice
v)Per h=0 determinare una base di $ RR ^{3} $ formata da autovettori
allora..
i) Trovare al variare di h: dimKerf; dimImf; una base per il nucleo e una per l'immagine
la matrice associata all'endomorfismo è A= $ ( ( 1 , 0 , -1 ),( h , 0 , -h ),( -1 , 0 , 1 ) ) $
le tre righe sono proporzionali, quindi il rango di A è 1, indipendentemente dal valore di h, giusto?
concludo che $ dimImf=1 $ per $ AA h in RR $
una base dell'imagine è $ B(imf)=((1, h, -1)) $
per trovare il nucleo:$ AX=0 $ quindi:
$ { ( x -z = 0 ),(x - v.l. ),(y - v.l. ):} $ e ottengo $ { ( x = z ),(x - v.l. ),(y - v.l. ):} $
quindi Kerf= {( x, y, x) : $ x,y in RR $ }, dimKerf=2
una base del nucleo è $ B(kerf) $=((1, 0, 1),(0, 1, 0))
giusto fin qui?
poi...
ii) Calcolare la controimmagine del vettore $ (0, 0, 0) $: $ f^-1 $
devo trovare un vettore di cui l'immagine sia (0, 0, 0)
$ AX=B $ dove il vettore $ B $ è quello nullo, quindi il sistema è identico a quello utilizzato per trovare il nucleo e quindi anche la soluzione è la stessa...
come dovrei scrivere!? $ f^-1 $=Kerf={( x, y, x) : $ x,y in RR $ }??
iii)Dopo aver verificato che $ B $=((-1, 2, 1),(0, 0, 2),(0, -1, 5)) è una base di $ RR ^{3} $, scrivere la matrice associata all'applicazione lineare $ f $ rispetto alla base $ B $ nel dominio e nel codominio.
Per dimostrare che i vettori $ (-1, 2, 1),(0, 0, 2) $ e $ (0, -1, 5) $ formano una base di $ RR ^{3} $, devo verificare se sono linearmente indipendenti.. Allora calcolo $ | ( -1 , 2 , 1 ),( 0 , 0 , 2 ),( 0 , -1 , 5 ) | $ = $ -1 != 0 $
quindi i vettori sono lin. ind. e formano una base di $ RR ^{3} $
mm... e qui comincio a perdermi...
$ f: RR ^{3} $ $ -> $ $ RR ^{3} $
calcolo le immagini:
f(-1, 2, 1)= (-2, -2h, 2)
f(0, 0, 2)= (-2, -2h, 2)
f(0, -1, 5)= (-5, -5h, 5)
e sono puntualmente proprorzionali... devo, dunque, considerarne solo uno!? per esempio, dicendo che
$ A= ( ( 1 , 0 , -1 ) ) $
e da $ a( -1 , 2 , 1 ) + b( 0, 0, 2) + c(0, -1, 5)= (-2, -2h, 2) $ ottengo
la matrice rispetto alla base $ B $:
M= $ ( ( 2 ),( 10h+20 ),( 2h+4 ) ) $ ????
iv)Determinare per quali valori del parametro f è semplice
nel polinomio caratteristico non compare l'$ h $...
scrivo immediatamente gli autovalori... sperando che i calcoli siano corretti (almeno quelli!!)
$ λ1=0 $ $ ma(0)=2 $
$ λ2=2 $ $ ma(2)=1 $
quindi, affinchè f sia semplice, devo dimostrare che dimV(λ1)=m(λ1)=2
$ dimV(λ1) = n - r(A- (λ1)In) = 3 - 1 = 2 $ $ rArr $ $ f $ è semplice ( $ AA h in RR $ )
è corretto??
e infine...
v)Per h=0 determinare una base di $ RR ^{3} $ formata da autovettori
per h=0 la matrice di partenza è composta da una sola riga: $ ( ( 1 , 0 , -1 ) ) $ e siccome il primo autovalore è 0 non viene modificata.. quindi nel sistema lineare ho solo un'equazione...
Vλ1 è dato da $ (A-(λ1)In)X=0 $... risolto il sistema lineare, ottengo:
Vλ1={(x, y, x) : $ x,y in RR $ }=<(1,0,1),(0,1,0)>
nel caso di λ2...
$ (A-(λ2)In)X=0 $ abbiamo
$ ( ( -1 , 0 , -1 ),( 0 , -2 , 0 ),( -1 , 0 , -1 ) ) $ $ ( ( x ),( y ),( z ) ) $ =0
e Vλ2={(x, 0, -x): $ x in RR $ } =<(1, 0, -1)>
non sono questi gli autovettori? (1,0,1),(0,1,0) e (1,0,-1)?
e quindi B($ RR^3 $)= ((1,0,1),(0,1,0),(1,0,-1))...
è così??
grazie a chiunque legga il post e cerchi di essere utile, anche solo in parte
grazie
Risposte
i) e ii) a me sembra tutto ok.
Solo una piccola osservazione: era ovvio che il sistema che hai ottenuto per calcolare $"ker"f$ fosse uguale a quello ottenuto per calcolare $f^{-1}(0,0,0)$, semplicemente perchè....sono lo stesso insieme, cioè $"ker"f=f^{-1}(0,0,0)$!
iii) Usa la definizione di matrice associata. Se $v_1,v_2,v_3$ sono nell'ordine i vettori della base $B$, dopo aver calcolato (come hai fatto) $f(v_1)$, $f(v_2)$, $f(v_3)$, scrivi ognuno di essi come combinazione lineare di $v_1,v_2,v_3$ e metti in colonna nell'ordine giusto i tre coefficienti di $f(v_i)$.
Dal calcolo che hai fatto per ottenere $a,b,c$, in particolare questo:
dovresti ottenere i primi tre. Secondo me, hai commesso un errore di calcolo. Controlla.
Poi ripeti il procedimento anche per gli altri due. Non importa che siano simili...
Tieni conto che dovrai ottenere una matrice $3\times 3$ (dalla teoria sai che deve essere simile alla matrice $A$).
iv) e v) quando avrò un po' di tempo.
A presto!
Solo una piccola osservazione: era ovvio che il sistema che hai ottenuto per calcolare $"ker"f$ fosse uguale a quello ottenuto per calcolare $f^{-1}(0,0,0)$, semplicemente perchè....sono lo stesso insieme, cioè $"ker"f=f^{-1}(0,0,0)$!
iii) Usa la definizione di matrice associata. Se $v_1,v_2,v_3$ sono nell'ordine i vettori della base $B$, dopo aver calcolato (come hai fatto) $f(v_1)$, $f(v_2)$, $f(v_3)$, scrivi ognuno di essi come combinazione lineare di $v_1,v_2,v_3$ e metti in colonna nell'ordine giusto i tre coefficienti di $f(v_i)$.
Dal calcolo che hai fatto per ottenere $a,b,c$, in particolare questo:
"~Mihaela~":
e da $ a( -1 , 2 , 1 ) + b( 0, 0, 2) + c(0, -1, 5)= (-2, -2h, 2) $ ottengo ....
dovresti ottenere i primi tre. Secondo me, hai commesso un errore di calcolo. Controlla.
Poi ripeti il procedimento anche per gli altri due. Non importa che siano simili...
Tieni conto che dovrai ottenere una matrice $3\times 3$ (dalla teoria sai che deve essere simile alla matrice $A$).
iv) e v) quando avrò un po' di tempo.
A presto!
grazie!! è già qualcosa riguarderò la iii)
avevo effettivamente ottenuto una matrice 3x3 ma mi ha un pò confusa il fatto ke avevo sempre righe, poi sipettivamente colonne, proporzionali..
controllerò anche i calcoli... grazie ancora!!
riguarderò la iii) avevo effettivamente ottenuto una matrice 3x3 ma mi ha un pò confusa il fatto ke avevo sempre righe, poi sipettivamente colonne, proporzionali..
controllerò anche i calcoli... grazie ancora!!
eccomi qui...
avevi ragione, avevo riportato male i coeficienti dalla combinazione lineare al sistema... e da lì, i calcoli non tornavano
dunque, adesso dovrei aver risolto...
abbiamo la matrice associata all'applicazione lineare
A= $ ( ( 1 , 0 , -1 ),( h , 0 , -h ),( -1 , 0 , 1 ) ) $
e rispetto alla base $ B $ diventa
M= $ ( ( 2 , 2 , 5 ),( -5h-10 , -5h-10 , -25/2h-25 ),( 2h+4 , 2h+4 , 5h+10 ) ) $
spero che adesso vada bene...
avevi ragione, avevo riportato male i coeficienti dalla combinazione lineare al sistema... e da lì, i calcoli non tornavano
dunque, adesso dovrei aver risolto...
abbiamo la matrice associata all'applicazione lineare
A= $ ( ( 1 , 0 , -1 ),( h , 0 , -h ),( -1 , 0 , 1 ) ) $
e rispetto alla base $ B $ diventa
M= $ ( ( 2 , 2 , 5 ),( -5h-10 , -5h-10 , -25/2h-25 ),( 2h+4 , 2h+4 , 5h+10 ) ) $
spero che adesso vada bene...
Perfetto. La matrice è giusta.
Ho controllato i punti iv) e v). Tutto ok.
OT
Permettimi di darti un consiglio. Quando scrivi al computer in "matematichese" (vale anche per quando scrivi/scriverai documenti di matematica), tutte le formule devono essere scritte in "formato formula".
Ecco come avrei scritto io, con le tue stesse parole, parte del tuo post.
Come vedi, il messaggio diventa un po' più chiaro. Leggere un post/documento scritto male, soprattutto se lungo, "scoraggia" chi vuole aiutarti/leggere.
/OT
Ciao, alla prossima!
Ho controllato i punti iv) e v). Tutto ok.
OT
Permettimi di darti un consiglio. Quando scrivi al computer in "matematichese" (vale anche per quando scrivi/scriverai documenti di matematica), tutte le formule devono essere scritte in "formato formula".
Ecco come avrei scritto io, con le tue stesse parole, parte del tuo post.
"~Mihaela~":
v) Per $h=0$ determinare una base di $ RR ^{3} $ formata da autovettori
per $h=0$ la matrice di partenza è composta da una sola riga: $ ( ( 1 , 0 , -1 ) ) $ e siccome il primo autovalore è $0$ non viene modificata.. quindi nel sistema lineare ho solo un'equazione...
$V(λ_1)$ è dato da $ (A-(λ1)In)X=0 $... risolto il sistema lineare, ottengo:
$V(λ_1)={(x, y, x) : x,y in RR }=<(1,0,1),(0,1,0)>$
nel caso di $λ_2$...
$ (A-λ_2I_n)X=0 $ abbiamo
$ ( ( -1 , 0 , -1 ),( 0 , -2 , 0 ),( -1 , 0 , -1 ) )( ( x ),( y ),( z ) ) =0$
e $V(λ2)={(x, 0, -x): x in RR } =<(1, 0, -1)>$
non sono questi gli autovettori? $(1,0,1)$, $(0,1,0)$ e $(1,0,-1)$?
e quindi $B( RR^3 )=((1,0,1);(0,1,0);(1,0,-1))$...
è così??
Come vedi, il messaggio diventa un po' più chiaro. Leggere un post/documento scritto male, soprattutto se lungo, "scoraggia" chi vuole aiutarti/leggere.
/OT
Ciao, alla prossima!
OT
va bene!! farò più attenzione... ci avevo provato, ma spesso i miei "commandi" erano errati e magari invece di una base, compariva una matrice...
mi ci devo ancora abituare al "matematichese"... 
come vedi sono nuova...
/OT
Grazie per aver dedicato del tempo al mio topic, avevo bisogno di confrontarmi con qualcuno!!
a presto!!
va bene!! farò più attenzione... ci avevo provato, ma spesso i miei "commandi" erano errati e magari invece di una base, compariva una matrice...
mi ci devo ancora abituare al "matematichese"... come vedi sono nuova.../OT
Grazie per aver dedicato del tempo al mio topic, avevo bisogno di confrontarmi con qualcuno!!
a presto!!
Certo, stai tranquilla. Mi sono permesso l'OT solo perchè, secondo me, sull'esercizio non c'era quasi nulla da eccepire e ho deciso di essere un po' pignolo.
Buona permanenza nel forum. Alla prossima
Buona permanenza nel forum. Alla prossima
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo