Endomorfismo
Non so,sono andato in palla e non risco proprio a svolgere questo esercizio,e domani ho l'esame,c'è qualche anima pia che è così gentile da aiutarmi? 
Il problema è che non so come trovare f(0,0,1).
Sia f : R3 → R3 un endomorfismo per il quale kerf = {(x,y,z) : x+y− 2z = 0} e supponiamo che f(1,0,0) = (1,2,3), mentre f(0,1,0) = (−1,−1,−1). Determinare f(0,0,1) ed una base di Imf. Stabilire se f `e diagonalizzabile.
Il problema è che non so come trovare f(0,0,1).
Sia f : R3 → R3 un endomorfismo per il quale kerf = {(x,y,z) : x+y− 2z = 0} e supponiamo che f(1,0,0) = (1,2,3), mentre f(0,1,0) = (−1,−1,−1). Determinare f(0,0,1) ed una base di Imf. Stabilire se f `e diagonalizzabile.
Risposte
$[f(1,1,1)=(0,0,0)] ^^ [(0,0,1)=-(1,0,0)-(0,1,0)+(1,1,1)] rarr$
$rarr[f(0,0,1)=-f(1,0,0)-f(0,1,0)+f(1,1,1)=-(1,2,3)-(-1,-1,-1)+(0,0,0)=(0,-1,-2)]$
$rarr[f(0,0,1)=-f(1,0,0)-f(0,1,0)+f(1,1,1)=-(1,2,3)-(-1,-1,-1)+(0,0,0)=(0,-1,-2)]$
scusami,ma perchè f(1,1,1) = (0,0,0) ?
comunque grazie per l'aiuto,
comunque grazie per l'aiuto,
Semplicemente perchè $[kerf={(x,y,z):x+y−2z=0}]$.
Scusatemi ma in questo esercizio cè qualcosa che non mi quadra
$ (0,0,0) = f(1,-1,0)=f(1,0,0)-f(0,1,0)=(1,2,3)-(-1,-1,-1)=(2,3,4) $
che è assurdo... ho sbagliato qualcosa?
$ (0,0,0) = f(1,-1,0)=f(1,0,0)-f(0,1,0)=(1,2,3)-(-1,-1,-1)=(2,3,4) $
che è assurdo... ho sbagliato qualcosa?
"perplesso":
Scusatemi ma in questo esercizio c'è qualcosa che non mi quadra ...
Hai perfettamente ragione. Poichè il nucleo e l'immagine hanno entrambi dimensione $2$, l'esercizio è inconsistente.
mmm...non ho ben capito,che confusione che mi ha messo in testa questo esercizio.quale è la corrispondenza del ker con f(1.1.1)?
@ allecchino
La dimensione del nucleo è $[2]$. Poichè la somma delle dimensioni del nucleo e dell'immagine deve essere $[3]$, la dimensione dell'immagine deve essere $[1]$. Invece, associando $[2]$ vettori linearmente indipendenti:
$[f(1,0,0)=(1,2,3)] ^^ [f(0,1,0)=(−1,−1,−1)]$
anche la dimensione dell'immagine è $[2]$. Per avere consistenza avrebbe dovuto associare $[2]$ vettori linearmente dipendenti, per esempio:
$[f(1,0,0)=(1,2,3)] ^^ [f(0,1,0)=(2,4,6)]$
Con questa modifica, puoi procedere come ti ho mostrato nel primo messaggio.
La dimensione del nucleo è $[2]$. Poichè la somma delle dimensioni del nucleo e dell'immagine deve essere $[3]$, la dimensione dell'immagine deve essere $[1]$. Invece, associando $[2]$ vettori linearmente indipendenti:
$[f(1,0,0)=(1,2,3)] ^^ [f(0,1,0)=(−1,−1,−1)]$
anche la dimensione dell'immagine è $[2]$. Per avere consistenza avrebbe dovuto associare $[2]$ vettori linearmente dipendenti, per esempio:
$[f(1,0,0)=(1,2,3)] ^^ [f(0,1,0)=(2,4,6)]$
Con questa modifica, puoi procedere come ti ho mostrato nel primo messaggio.
@ Speculor
Facendo come hai detto tu ho trovato che : $ f(0,0,1)=(-3,-6,-9) $
Per calcolare la dimensione dell'Im ho Studiato la matrice $ A ( ( 1 , 2 , 3 ),( 2 , 4 , 6 ),( -3 , -6 , -9 ) ) $ ho un solo pivot quindi dimensione Im = 1 e scelco il vettore $ (1,2,3) $ come base dell'Im.
Ora per vedere se f è diagonalizzabile devo trovare gi autovalori per la matrice $ A ( ( 1 , 2 , 3 ),( 2 , 4 , 6 ),( -3 , -6 , -9 ) ) $
Giusto?
Facendo come hai detto tu ho trovato che : $ f(0,0,1)=(-3,-6,-9) $
Per calcolare la dimensione dell'Im ho Studiato la matrice $ A ( ( 1 , 2 , 3 ),( 2 , 4 , 6 ),( -3 , -6 , -9 ) ) $ ho un solo pivot quindi dimensione Im = 1 e scelco il vettore $ (1,2,3) $ come base dell'Im.
Ora per vedere se f è diagonalizzabile devo trovare gi autovalori per la matrice $ A ( ( 1 , 2 , 3 ),( 2 , 4 , 6 ),( -3 , -6 , -9 ) ) $
Giusto?
Avevo pensato di rendere consistente l'esercizio con questa modifica:
$[f(1,1,1)=(0,0,0)] ^^ [(0,0,1)=-(1,0,0)-(0,1,0)+(1,1,1)] rarr$
$rarr[f(0,0,1)=-f(1,0,0)-f(0,1,0)+f(1,1,1)=-(1,2,3)-(2,4,6)+(0,0,0)=(-3,-6,-9)]$
In questo caso, la matrice che rappresenta l'endomorfismo rispetto alla base canonica risulta essere:
$A=((1,2,-3),(2,4,-6),(3,6,-9))$
Ti faccio notare che hai scambiato le righe con le colonne. Ma essendo l'equazione del nucleo $[x+2y-3z=0]$, non viene rispettata la prima condizione. Se vuoi, ti mostro definitivamente come determinare un testo consistente.
$[f(1,1,1)=(0,0,0)] ^^ [(0,0,1)=-(1,0,0)-(0,1,0)+(1,1,1)] rarr$
$rarr[f(0,0,1)=-f(1,0,0)-f(0,1,0)+f(1,1,1)=-(1,2,3)-(2,4,6)+(0,0,0)=(-3,-6,-9)]$
In questo caso, la matrice che rappresenta l'endomorfismo rispetto alla base canonica risulta essere:
$A=((1,2,-3),(2,4,-6),(3,6,-9))$
Ti faccio notare che hai scambiato le righe con le colonne. Ma essendo l'equazione del nucleo $[x+2y-3z=0]$, non viene rispettata la prima condizione. Se vuoi, ti mostro definitivamente come determinare un testo consistente.
Ragioniamo... affinchè l'esercizio sia consistente come dice giustamente speculor deve essere $ Im(f)=1 $ ovvero $ f(1,0,0)=kf(0,1,0) $ con $ k \in R $, e quindi $ (0,0,0)=f(1,-1,0)=f(1,0,0)-f(0,1,0)=f(1,0,0)-kf(1,0,0)=(1-k)f(1,0,0) $ da cui $ 1-k=0 $ e $ k=1 $. Perciò è necessario che sia $ f(1,0,0)=f(0,1,0) $ vero?
P.S. Intendo se vogliamo rimanere invariato il kernel...
P.S. Intendo se vogliamo rimanere invariato il kernel...
@perplesso
Probabilmente io avrei proceduto in modo diverso, andando a determinare una base del nucleo e assegnando un generico vettore non nullo ad un generico vettore completamento della base. Questo non toglie che il tuo procedimento sia senz'altro più elegante e diretto. Tuttavia, quando esegui il seguente passaggio:
$[(0,0,0)=(1-k)f(1,0,0)] rarr [1-k=0]$
bisognerebbe sincerarsi che $(1,0,0)$ non appartenga al nucleo, come si può facilmente verificare.
Probabilmente io avrei proceduto in modo diverso, andando a determinare una base del nucleo e assegnando un generico vettore non nullo ad un generico vettore completamento della base. Questo non toglie che il tuo procedimento sia senz'altro più elegante e diretto. Tuttavia, quando esegui il seguente passaggio:
$[(0,0,0)=(1-k)f(1,0,0)] rarr [1-k=0]$
bisognerebbe sincerarsi che $(1,0,0)$ non appartenga al nucleo, come si può facilmente verificare.
bisognerebbe sincerarsi che 1,0,0 non appartenga al nucleo, come si può facilmente verificare.
Hai ragione sono proprio sbadato sorry
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