Endomorfismo

[caronte559]

Ciao a tutti,
Non riesco a capire cosa chiede il seguente esercizio:

Nello spazio vettoriale $R^3$ si considerino i vettori
$x_1:=(2,1,0)$,
$x_2:=(0,0,1)$,
$x_3:=(-2,-1,3)$,
$y_1:=(4,2,1)$,
$y_2=(12,6,3)$,
$y_3=(1,1,1)$

Nessun problema per il primo punto, invece il secondo chiede questo:
II) Posto $X:=lin(x_1,x_2)$ dire perche' esiste un'unica applicazione lineare
$f:X \to R^3$ tale che $f(x_1)=y_1$ e $f(x_2)=y_2$, verificare che $f$ e' un endomorfismo.
Scegliere una base $B$ di $X$ e scrivere $M_{B}(f)$

E' corretto dire che $f$ e' l'unica applicazione lineare $X \to R^3$ perche' $x_1$ e $x_2$ sono linearmente indipendenti?

Poi supponiamo di prendere come base $B$ quella canonica di $X$
$B=(1,0),(0,1)$
a questo punto mi calcolo $M_{E}(f)$ che e' la matrice associata ad $f$ rispetto alla base canonica di $R^3$. \\
E' giusto poi trovare una matrice $M_{B C}$ (3 x 2) che mi manda $M_{E}(f) \to M_{B}(f)$?
In questo modo sarebbe:
$M_{b}(f)=\left(M_{B C} M_{E}(f)\right)$

Il fatto di avere un endomorfismo espresso in $R^3$ e doverlo portare in $R^2$ mi sta mettendo in seria difficolta'.

[franced]

"caronte559":Ciao a tutti,
Non riesco a capire cosa chiede il seguente esercizio:

Nello spazio vettoriale $R^3$ si considerino i vettori
$x_1:=(2,1,0)$,
$x_2:=(0,0,1)$,
$x_3:=(-2,-1,3)$,
$y_1:=(4,2,1)$,
$y_2=(12,6,3)$,
$y_3=(1,1,1)$

Nessun problema per il primo punto, invece il secondo chiede questo:
II) Posto $X:=lin(x_1,x_2)$ dire perche' esiste un'unica applicazione lineare
$f:X \to R^3$ tale che $f(x_1)=y_1$ e $f(x_2)=y_2$, verificare che $f$ e' un endomorfismo.
Scegliere una base $B$ di $X$ e scrivere $M_{B}(f)$

Vediamo l'immagine di $x_1$:

$f(x_1) = (4,2,1) = 2 * (2,1,0) + (0,0,1) = 2 * x_1 + 1 * x_2$

vediamo l'immagine di $x_2$:

$f(x_2) = (12,6,3) = 6 * (2,1,0) + 3 * (0,0,1) = 6 * x_1 + 3 * x_2$

Se scelgo $B = {x_1 ; x_2}$, la matrice associata è, perciò, la seguente:

$((2,6),(1,3))$ .

[caronte559]

Ok grazie,
Era una stupidagine ed ho fatto un ragionamento veramente contorto.
Mi sono fossilizzato sul dover prendere una base che fosse diversa da $x_1$ e $x_2$.

[franced]

Prego.

Tieni conto che spesso gli esercizi sono fatti "ad hoc"...