Endomorfismo

[dariuccio_1988]

Salve a tutti i membri , vi pongo il seguente problema di algebra che non riesco a risolvere :

Sia V={(x,y,z,t) Є $R^4$ | x+Ky+z=0} con K parametro reale ;
Determinare il valore di K per cui f [f(x,y,z,t)=(x+y+z+ht,y+z,-y-z-ht,hy) con h parametro reale] induce un endomorfismo φ di V

Ringrazio tutti anticipatamente .


il mio problema è capire come operare al fine di apprendere come svolgere l'esercizio.
Noi abbiamo il sottospazio V , fino qui ci sono , poi ci dice di trovare per quale valore di K la legge f induce un endomorfismo φ di V ed io qui non so come operare come faccio a capire per quale K f induce un endomorfismo da V in V ?

[Camillo]

[mod="Camillo"]Ti invito ad accennare un inizio di soluzione , questo nello spirito e nelle regole del Forum .
Tu come faresti, dove trovi difficoltà ?
Il Forum non è un risolutore automatico di esercizi.[/mod]

[dariuccio_1988]

Provando a trovare delle basi del sottospazio ho trovato 3 basi .... ma essendo un sottospazio di $R^4$ ed essendo f definita in $R^4$ otterrei una matrice 3x4 e non un endomorfismo.... insomma ho un pò di confusione ha una giornata che ci impazzisco...

[dariuccio_1988]

"Sergio":[quote="dariuccio_1988"]Provando a trovare delle basi del sottospazio ho trovato 3 basi

Credo volessi dire "una base di tre vettori".

"dariuccio_1988": .... ma essendo un sottospazio di $R^4$ ed essendo f definita in $R^4$ otterrei una matrice 3x4 e non un endomorfismo.... insomma ho un pò di confusione ha una giornata che ci impazzisco...

E come fai ad ottenere una matrice 3x4?
Non ho fatto i conti, e forse sono un po' arrugginito, ma se hai trovato una base di tre elementi, la matrice associata all'applicazione è una matrice 3x3 che ha per colonne le coordinate rispetto alla base di arrivo delle immagini degli elementi della base di partenza.
Hai cioè tre vettori nella base di partenza (che usi anche come base di arrivo, visto che cerchi un endomorfismo), tre immagini di questi vettori, tre colonne nella matrice. In ciascuna colonna hai le coordinate di quelle immagini; dato che si tratta di coordinate rispetto ad una base di tre vettori, in ogni colonna ci sono tre elementi.
Quindi hai una matrice 3x3.
Sbaglio?

Invece, otterresti una matrice 3x4 evitando la conversione delle immagini in coordinate rispetto ad una base di arrivo di tre elementi, cioè assumendo come base di arrivo la base canonica, che è però propria, per $RR^4$, di uno spazio a 4 dimensioni. Addio endomorfismo...

PS: Ultimo dubbio. Sicuro che devi cercare un valore di $K$ e non un valore di $h$?[/quote]

si ho trovato una base di 3 vettori . io non c sto capendo nulla ...
ho capito solo che con la legge che mi da , f , devo controllare per quale valore del parametro K la legge f sopra descritta induce un endomorfismo V di V. dopodichè otterrò una matrice nella quale c sarà il parametro h ma nn è influente sui calcoli successivi , il mio problema è quello di trovare per quale K la f induce un endomorfismo V di V solo questo .