Endomorfismo
Ciao, sto eseguendo questo esercizio ma ho dei dubbi sull'ultimo punto. Recita:
Sia $ A=( ( -1 , 1 , 2 ),(0 , 1 , lambda ),( -1 , 2 , 3 ) ) $ la matrice associata all'endomorfismo di $ R^3 $ rispetto alla base canonica C.
1. Determinare il numero di soluzioni del sistema lineare $ A( ( x ),( y ),( z ) )= ( ( lambda ),( 1 ),( 0 ) ) $.
2. Dare una base per Im(f) al variare di $ lambda $.
3. Determinare la matrice $ A'=M_B(f) $, dove $ B={(1,1,0),(0,1,0),(0,0,-1)} $.
4. Determinare per quale $ lambda in {-1,1} $ la matrice è diagonalizzabile.
1. Per $ lambda ne 1 $ il sistema è compatibile e determinato. In caso contrario il sistema non è compatibile perché la matrice dei coefficienti ha rango 2, mentre quella completa ha rango 3.
2. Se $ lambda = 1 $ una base per Im(f) è data da $ D={(-1,0,-1),(1,1,2)} $. In caso contrario una base per Im(f) è data da $ D={(-1,0,-1),(1,1,2),(2,lambda,3)} $.
3. Se $ C=| ( 1 , 0 , 0 ),( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) | $ è la matrice del cambiamento di base per passare dalla canonica a $ B $, allora:
$ A'=CAC^(-1)=| ( 0 , 1 , 2 ),( 1 , 0 , -2+lambda ),( 1 , 2 , 3 ) | $.
4. Qui non ho ben capito se devo sostituire i valori 1 e -1 a $ lambda $ e vedere se per tali valori la matrice è diagonalizzabile oppure altro. Potreste darmi un consiglio? Grazie!
Sia $ A=( ( -1 , 1 , 2 ),(0 , 1 , lambda ),( -1 , 2 , 3 ) ) $ la matrice associata all'endomorfismo di $ R^3 $ rispetto alla base canonica C.
1. Determinare il numero di soluzioni del sistema lineare $ A( ( x ),( y ),( z ) )= ( ( lambda ),( 1 ),( 0 ) ) $.
2. Dare una base per Im(f) al variare di $ lambda $.
3. Determinare la matrice $ A'=M_B(f) $, dove $ B={(1,1,0),(0,1,0),(0,0,-1)} $.
4. Determinare per quale $ lambda in {-1,1} $ la matrice è diagonalizzabile.
1. Per $ lambda ne 1 $ il sistema è compatibile e determinato. In caso contrario il sistema non è compatibile perché la matrice dei coefficienti ha rango 2, mentre quella completa ha rango 3.
2. Se $ lambda = 1 $ una base per Im(f) è data da $ D={(-1,0,-1),(1,1,2)} $. In caso contrario una base per Im(f) è data da $ D={(-1,0,-1),(1,1,2),(2,lambda,3)} $.
3. Se $ C=| ( 1 , 0 , 0 ),( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) | $ è la matrice del cambiamento di base per passare dalla canonica a $ B $, allora:
$ A'=CAC^(-1)=| ( 0 , 1 , 2 ),( 1 , 0 , -2+lambda ),( 1 , 2 , 3 ) | $.
4. Qui non ho ben capito se devo sostituire i valori 1 e -1 a $ lambda $ e vedere se per tali valori la matrice è diagonalizzabile oppure altro. Potreste darmi un consiglio? Grazie!
Risposte
Scrivere $\lambda \in {-1,1}$ credo intenda i valori di \lambda compresi all'interno di tale intervallo.
Prova a procedere al calcolo di $det(A-x1I)=0$ e discrimina i vari casi
Prova a procedere al calcolo di $det(A-x1I)=0$ e discrimina i vari casi
Grazie, alla fine ho risolto come hai detto tu, grazie!
prego 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo