Endomorfismo!
ciao ragazzi non riesco a capire come devo risolvere questo esercizio
al variare del parametro t, si consideri l'applicazione lineare $f:R^3 -> R^3$ definita da:
$ f(x,y,z)=(x+2y+1-t^2, (t^2-t)x^3-y+z, tx+(t^3-t)y^3-z)$
stabilire per quali valori di t l'applicazione è un endomorfismo di $R^3$
indipendentemente dal parametro t non so proprio come dimostrare che sia un endomorfismo, pur sapendo che per esserlo lo spazio di arrivo deve essere uguale allo spazio di partenza..e qui ci siamo perchè sono entrambi $R^3$ giusto? ma poi non riesco a continuare.. mi aiutereste?
al variare del parametro t, si consideri l'applicazione lineare $f:R^3 -> R^3$ definita da:
$ f(x,y,z)=(x+2y+1-t^2, (t^2-t)x^3-y+z, tx+(t^3-t)y^3-z)$
stabilire per quali valori di t l'applicazione è un endomorfismo di $R^3$
indipendentemente dal parametro t non so proprio come dimostrare che sia un endomorfismo, pur sapendo che per esserlo lo spazio di arrivo deve essere uguale allo spazio di partenza..e qui ci siamo perchè sono entrambi $R^3$ giusto? ma poi non riesco a continuare.. mi aiutereste?
Risposte
Se $mathbb{R^3}$ è considerato come uno spazio vettoriale allora l'endomorfismo in questione è un'applicazione lineare di $mathbb{R^3}$ in sé. Pertanto nella sua definizione algebrica devono comparire solo termini di grado=1, ovvero deve essere contemporaneamente:
\(\displaystyle \begin{cases}1-t^2=0\\t^2-t=0\\t^3-t=0\end{cases} \)
che poi si riduce alla sola equazione $t-1=0$
C'è quindi un solo valore di t che rende $f$ un endomorfismo : $t=+1$
\(\displaystyle \begin{cases}1-t^2=0\\t^2-t=0\\t^3-t=0\end{cases} \)
che poi si riduce alla sola equazione $t-1=0$
C'è quindi un solo valore di t che rende $f$ un endomorfismo : $t=+1$
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