Endomorfismo
Ciao, sto cercando di fare questo esercizi, ma ho qualche problemino ... qualcuno può aiutarmi per favore?
"Sia dato l'endomorfismo f di $RR^4$ tale che
f(v) = v $AA$v $in$ S = {(x,y,z,w) $in$ $RR^4$| 2x-w=0}
$ f ((2),(0),(0),(0)) = ((-6),(0),(0),(4))$
1. Determinare la matrice che lo rappresenta rispetto alla base canonica di $RR^4$.
2. Dire se la suddetta matrice risulta diagonalizzabile, e trovare, se esiste, una matrice ortogonale che la diagonalizza. "
Non so se quello che ho fatto è giusto:
$ S = {((1),(0),(0),(2)), ((0),(1),(0),(0)), ((0),(0),(1),(0)) } $
per trovare la matrice che rappresenta f rispetto alla base canonica devo trovare le immagini dei vettori della base canonica, no?
$ f ((1),(0),(0),(0)) = 1/2 f ((2),(0),(0),(0)) =1/2 ((-6),(0),(0),(4)) = ((-3),(0),(0),(2))$
e gli altri vettori della base canonica sono i vettori stessi ... no?
Grazie
"Sia dato l'endomorfismo f di $RR^4$ tale che
f(v) = v $AA$v $in$ S = {(x,y,z,w) $in$ $RR^4$| 2x-w=0}
$ f ((2),(0),(0),(0)) = ((-6),(0),(0),(4))$
1. Determinare la matrice che lo rappresenta rispetto alla base canonica di $RR^4$.
2. Dire se la suddetta matrice risulta diagonalizzabile, e trovare, se esiste, una matrice ortogonale che la diagonalizza. "
Non so se quello che ho fatto è giusto:
$ S = {((1),(0),(0),(2)), ((0),(1),(0),(0)), ((0),(0),(1),(0)) } $
per trovare la matrice che rappresenta f rispetto alla base canonica devo trovare le immagini dei vettori della base canonica, no?
$ f ((1),(0),(0),(0)) = 1/2 f ((2),(0),(0),(0)) =1/2 ((-6),(0),(0),(4)) = ((-3),(0),(0),(2))$
e gli altri vettori della base canonica sono i vettori stessi ... no?
Grazie
Risposte
"kika_17":
$ S = {((1),(0),(0),(2)), ((0),(1),(0),(0)), ((0),(0),(1),(0)) } $
Stai attenta ad usare le parentesi giuste! Quei vettori generano $S$, ma non sono gli unici elementi.
$ S = <((1),(0),(0),(2)), ((0),(1),(0),(0)), ((0),(0),(1),(0)) > $
"kika_17":
per trovare la matrice che rappresenta f rispetto alla base canonica devo trovare le immagini dei vettori della base canonica, no?
$ f ((1),(0),(0),(0)) = 1/2 f ((2),(0),(0),(0)) =1/2 ((-6),(0),(0),(4)) = ((-3),(0),(0),(2))$
e gli altri vettori della base canonica sono i vettori stessi ... no?
Beh, il secondo e il terzo vettore della base canonica appartengono ad $S$, quindi sì.
Ma il quarto?...
mmmmmmh ...
$ f ((0),(0),(0),(1)) = 1/2 [((1),(0),(0),(2)) - ((1),(0),(0),(0)) ] = ((7/2),(0),(0),(-1)) $
quindi la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base canonica di $RR^4$ è:
$ ((-3,0,0,7/2),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(2,0,0,-1)) $
che non è diagonalizzabile
$ f ((0),(0),(0),(1)) = 1/2 [((1),(0),(0),(2)) - ((1),(0),(0),(0)) ] = ((7/2),(0),(0),(-1)) $
quindi la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base canonica di $RR^4$ è:
$ ((-3,0,0,7/2),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(2,0,0,-1)) $
che non è diagonalizzabile
Se non ho sbagliato i conti per la diagonalizzabilità, perfetto!
Giusto la $f$ mancante, faccio notare, per rompere un po' (:
"kika_17":
$ f ((0),(0),(0),(1)) = 1/2 [((1),(0),(0),(2)) - ((1),(0),(0),(0)) ] = ((7/2),(0),(0),(-1)) $
Giusto la $f$ mancante, faccio notare, per rompere un po' (:
No no, fai bene a farmelo notare 
Grazie mille dell'aiuto !!!
Grazie mille dell'aiuto !!!
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