Endomorfismi,autovettori e teorema di jordan

[FreshBuddy]

questa non è una domanda specifica ma una richiesta di chiarimenti su questi argomenti che un po' ancora mi sfuggono...vi chiedo di correggermi dove sbaglio :
Sia un'applicazione lineare T,endoenrfismo(quindi da V in V,con V spazio vettoriale generale)
se v è diverso da 0 e T(v) = "lambda"*v
allora v si chiama autovettore e "lambda" autovalore
(mi chiedo perche' lo spazio di autovettori debba essere un sottospazio,cioe' se esiste un vettore di V che non sia autovalore)
se esiste una base di autovettori allora in alcni casi (matrice simmetrica)l'endorfismo è diagonalizzabile
la matrice è diagonale con tutti gli autovalori sulla diagonale e valori nulli fuori dalla diagonale(non mi è chiaro il motivo per cuiquella matrice esprimera' l'endomorfismo T e perche' i valori fuori la diagonale siano nulli)
il det di (T-"lambda"*I) mi da un' equazione caratteristicadi un gardo n
a ogni radice dell'eq corrisponde ! autovettore v(i)/(v(1),.......,v(n)) è una base di autovettori
qualunque endomorfismo in C è diagonalizzabile in una matrice che presenta sulla diagonale dei blocchi di jordan e degli zeri fuori dalla dalla diagonale
(sono tutti uguali i blocchi della diagonale?perche' a valore "lambda(i)" corrisponde "ker(t-"lambda(i)I)^K"? a cosa si riferisce K?
perche' se ho una radice multipla non posso affermare che gli autovettori corrispondenti sono linearmente indipendenti?
scusate se ho esagerato qualsiasi aiuto in merito è gradito
grazie!

[FreshBuddy]

daccordo cerchero' di essere piu' esauriente:
Diagonalizzazione delle matrici quadrate: l´equivalenza con l´esistenza di una base di auto-vettori
potrei conoscere la dimostrazione?
grazie!

[debaser]

spiegando un po' a cane.
viene banalmente dalla definizione della matrice associata a un'applicazione lineare.
le colonne di una matrice associata all'applicazione lineare A nella base di autovettori (e1,e2,......en) sono i vettori A(ei) calcolati nella nuova base. Ma gli ei sono autovettori, quindi A(ei)=λiei che nelle nuove coordinate equivale a un vettore con tutti zeri e λi al posto i. Quindi viene una matrice diagonale.

[FreshBuddy]

questo pero' se gli autovettori sono vettori della base canonica,ma se ad esempio avessi autovettori con componenti diverse da 0?

[Sk_Anonymous]

"FreshBuddy":
(mi chiedo perche' lo spazio di autovettori debba essere un sottospazio, cioe' se esiste un vettore di V che non sia autovalore)

Un autovettore di T è anzitutto un vettore di V, mentre un autovalore di T è, prima d'ogni altra cosa, uno scalare del campo K su cui è definito V in quanto spazio lineare. Quindi non capisco che senso possa avere mai il periodo evidenziato in rosso... Viceversa, la proposizione colorata di verde, che pure ha un senso, afferma tuttavia un falso. Innanzitutto va rivisitata, considerando che l'insieme di TUTTI E SOLI gli autovettori di T non può in alcun modo essere un sottospazio di V, poiché OGNI sottospazio di V contiene necessariamente lo 0, e NESSUNO fra gli autovettori di T può essere, d'altronde, eguale a 0. Semmai si dimostra che, detto $\lambda \in K$ un autovalore di $T$ ed $E_{\lambda}$ l'insieme $\{v \in V: v = 0$ vel $Tv = \lambda v\}$, $E_{\lambda}$ è un sottospazio (vettoriale) di $V$. Me lo risparmio, è troppo banale. Perciò è pure un sottospazio di V l'insieme $E = \sum_{\lambda \in \sigma(T)} E_{\lambda}$, dove $\sigma(T)$ è lo spettro (discreto) di T, poiché somma (peraltro diretta) di sottospazi.

[FreshBuddy]

in effetti mi sono espresso molto male intendevo autospazi unidimensionali
comunque anche se sono riuscito a chiarire i miei dubbi tra ieri e oggi ,rimane ancora qualcosa riguardo jordan
la cosa piu' importante è che vorrei sapere perche' in una matrice di blocchi di jordan il blocco di jordan corrispondente ad un valore "lambda"i si ottiene considerando il ker(T-"lambda"i)^k
poi data una matrice di un endomorfismo non so come ottenere la rispettiva matrice di jordan
grazie