Endomorfismi nilpotenti

[Dorian1]

Sia $f$ un endomorfismo dallo spazio vettoriale $V$ in sè stesso, con $dim_k (V)=n$ e $A in M_n(K)$ una qualsiasi matrice di $f$:

$f$ è nilpotente $<=>$ Il polinomio caratteristico è $P_A(x)= x^n$

DIMOSTRAZIONE:
"Necessità": ovvia conseguenza del teorema di Hamilton-Cayley;
"Sufficienza":Supponiamo $A$ (quindi $f$) nilpotente, cioè $EE n in NN$ tale che $A^n$ (quindi $f$ composto con sè stesso $n$ volte) $= 0$;
Sia $a$ autovalore per $f$ e $v<>0$, $v in V$ un suo autovettore. Si ha che $f(v)= av$. Applicando ancora otteniamo: $f(av)=af(v)=a^2v$. Applicando $n$ volte risulta $0=f^n(v)=a^nv$ e quindi $a=0$.
Si tratta della conclusione, poichè si è mostrato che $0$ è l'unico autovalore e, essendo il grado del polinomio caratteristico pari a $n$, dev'essere necessariamente $P_A(x)=x^n$.


Questo è un piccolo esercizio che ho fatto oggi pomeriggio...
Rimango sorpreso però quando scopro che la matrice 3x3 di colonne $(0,1,0)(1,0,1)(0,1,0)$ (che ha $P_A=x^3$) non è nilpotente...
Come mai?

[Studente Anonimo]

A me non viene $x^3$ come polinomio caratteristico, ma $x^3-2x$.

[Dorian1]

"Martino":A me non viene $x^3$ come polinomio caratteristico, ma $x^3-2x$.

Hai ragione. Scusate!