Endomorfismi iniettivi
Sia $K$ un campo, sia $V!=0$ uno spazio vettoriale su $K$ e sia $f\inEnd_K(V)$.
Voglio dimostrare che se $f$ è iniettivo allora esiste $g\inEnd_K(V)$ tale che $g(f(v))=v$ $AAv\inV$, ovvero che se $f$ è iniettivo allora ammette inverso sinistro in $End_K(V)$.
Se la dimensione di $V$ su $K$ è finita allora il fatto che $f$ sia iniettivo comporta il fatto che $f$ sia suriettivo, allora $f$ è una biiezione, allora $f$ ammette inverso (destro e sinistro, coincidenti).
Ma se non richiedo che necessariamente la dimensione di $V$ su $K$ sia finita come potrei procedere?
Voglio dimostrare che se $f$ è iniettivo allora esiste $g\inEnd_K(V)$ tale che $g(f(v))=v$ $AAv\inV$, ovvero che se $f$ è iniettivo allora ammette inverso sinistro in $End_K(V)$.
Se la dimensione di $V$ su $K$ è finita allora il fatto che $f$ sia iniettivo comporta il fatto che $f$ sia suriettivo, allora $f$ è una biiezione, allora $f$ ammette inverso (destro e sinistro, coincidenti).
Ma se non richiedo che necessariamente la dimensione di $V$ su $K$ sia finita come potrei procedere?
Risposte
Se restringi il codominio a $f(V)$, allora $f$ diventa suriettiva. Procediamo quindi in questo modo.
Prendi $H$ complemento di $f(V)$ in $V$, ovvero tale che $V = f(V) \oplus H$, e definisci $g$ come l'inversa di $f$ su $f(V)$ e $0$ su $H$. Dovrebbe funzionare...
Prendi $H$ complemento di $f(V)$ in $V$, ovvero tale che $V = f(V) \oplus H$, e definisci $g$ come l'inversa di $f$ su $f(V)$ e $0$ su $H$. Dovrebbe funzionare...
Giusto, grazie! 
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