Endomorfismi e autovalori
Buongiorno!
Avrei bisogno di una mano con un esercizio di algebra lineare sugli endomorfismi diagonalizzabili.
La traccia è la seguente: Sia φ un endomorfismo di uno spazio vettoriale V di dimensione n. Supponiamo che φ abbia n autovalori distinti. Dimostrare che esiste un vettore v ∈ V tale che l’insieme { $ v,varphi (v), varphi ^2 (v),... ,varphi ^(n-1)(v) $ } sia una base di V .
Io so che, avendo n autovalori distinti, esiste una base di autovettori, tale che la matrice associata a $ varphi $ rispetto a tale base è diagonale.
So anche che il vettore v a cui allude l’esercizio non può essere qui nessuno di questi autovettori, perché applicando $ varphi $ anche solo una volta troverei che v e la sua immagine sono linearmente dipendenti.
Penso allora che il vettore in questione debba essere combinazione lineare di tutti gli autovettori della base.
Tuttavia non ne sono sicuro, perché non riesco a dimostrare che { $ v,varphi (v), varphi ^2 (v),... ,varphi ^(n-1)(v) $ } sono linearmente dipendenti (magari non lo sono nemmeno).
Suggerimenti?
Grazie in anticipo
Avrei bisogno di una mano con un esercizio di algebra lineare sugli endomorfismi diagonalizzabili.
La traccia è la seguente: Sia φ un endomorfismo di uno spazio vettoriale V di dimensione n. Supponiamo che φ abbia n autovalori distinti. Dimostrare che esiste un vettore v ∈ V tale che l’insieme { $ v,varphi (v), varphi ^2 (v),... ,varphi ^(n-1)(v) $ } sia una base di V .
Io so che, avendo n autovalori distinti, esiste una base di autovettori, tale che la matrice associata a $ varphi $ rispetto a tale base è diagonale.
So anche che il vettore v a cui allude l’esercizio non può essere qui nessuno di questi autovettori, perché applicando $ varphi $ anche solo una volta troverei che v e la sua immagine sono linearmente dipendenti.
Penso allora che il vettore in questione debba essere combinazione lineare di tutti gli autovettori della base.
Tuttavia non ne sono sicuro, perché non riesco a dimostrare che { $ v,varphi (v), varphi ^2 (v),... ,varphi ^(n-1)(v) $ } sono linearmente dipendenti (magari non lo sono nemmeno).
Suggerimenti?
Grazie in anticipo
Risposte
Prova a vedere cosa succede se consideri come $v$ la somma degli autovettori!
Oppure riduciti al caso di una matrice diagonale
\[
A=\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \ldots \\ 0 & \lambda_2 & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots\end{bmatrix}, \]
dove \(\lambda_1\ne \lambda_2 \ne \ldots\), e vedi che succede con il vettore
\[
v=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1\end{bmatrix}.\]
Infatti, la matrice avente per colonne
\[
Av, A^2 v, A^3v, \ldots \]
è di Vandermonde https://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde_matrix
Etc etc...
P.S.: In fondo questo suggerimento e quello di jinsang sono esattamente la stessa cosa.
\[
A=\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \ldots \\ 0 & \lambda_2 & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots\end{bmatrix}, \]
dove \(\lambda_1\ne \lambda_2 \ne \ldots\), e vedi che succede con il vettore
\[
v=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1\end{bmatrix}.\]
Infatti, la matrice avente per colonne
\[
Av, A^2 v, A^3v, \ldots \]
è di Vandermonde https://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde_matrix
Etc etc...
P.S.: In fondo questo suggerimento e quello di jinsang sono esattamente la stessa cosa.
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