Endomorfismi, autovalori, autospazi ect.....
ciao, qualcuno riesce a fornirmi una soluzione a questo problema
posto su imageshack per comodità http://img294.imageshack.us/img294/8395/provaxr2.jpg
grazie a tutti
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Risposte
allora, dal momento che è simmetrica è diagonalizzabile (è una delle innumerevoli conseguenze del teorema spettrale) tramite una matrice ortogonale. Se f è autoaggiunta allora autovettori di autospazi diversi sono ortogonali ad autovettori di autospazi diversi.
Calcola $det (A-xI)$, verrà fuori una cosa lunghissima e brutta.
Scomponilo in prodotto di polinomi.
adesso nota quali sono le radici di ognuno dei polinomi, e la loro molteplicità algebrica (ad esempio, se dovesse venire $(x-1)^2 (x+4)$, x = 1 ha molteplicità algebrica 2, x = -4 ha m.a.1).
Dal momento che sai che è diagonalizzabile devi calcolare gli autovettori:
Sia $lamda_1$ autovettore relativo all'autospazio $V_1$.
Imponi che
$Ax = lamda_1x$. Ti calcoli gli autovettori possibili. Fai la stessa cosa per ogni autospazio.
Alla fine avrai 3 autovettori. ora, nel peggiore dei casi avrai 3 autospazi diversi di dimensione 1.
Se viene così devi calcolare il prodotto scalare standard di ogni autovettore con gli altri due, e vedere che sia nullo, altrimenti non è autoaggiunta.
Altrimenti devi solo controllare gli autovettori che stanno in autospazi diversi.
Per l'ultimo punto, beh io farei a mano, ti trovi la matrice del cambio di base dalla base canonica a quella in cui la matrice associata è diagonale, poi ortonormalizzi la base utilizzando gran-smith. Non so se ci sono altri modi.
Calcola $det (A-xI)$, verrà fuori una cosa lunghissima e brutta.
Scomponilo in prodotto di polinomi.
adesso nota quali sono le radici di ognuno dei polinomi, e la loro molteplicità algebrica (ad esempio, se dovesse venire $(x-1)^2 (x+4)$, x = 1 ha molteplicità algebrica 2, x = -4 ha m.a.1).
Dal momento che sai che è diagonalizzabile devi calcolare gli autovettori:
Sia $lamda_1$ autovettore relativo all'autospazio $V_1$.
Imponi che
$Ax = lamda_1x$. Ti calcoli gli autovettori possibili. Fai la stessa cosa per ogni autospazio.
Alla fine avrai 3 autovettori. ora, nel peggiore dei casi avrai 3 autospazi diversi di dimensione 1.
Se viene così devi calcolare il prodotto scalare standard di ogni autovettore con gli altri due, e vedere che sia nullo, altrimenti non è autoaggiunta.
Altrimenti devi solo controllare gli autovettori che stanno in autospazi diversi.
Per l'ultimo punto, beh io farei a mano, ti trovi la matrice del cambio di base dalla base canonica a quella in cui la matrice associata è diagonale, poi ortonormalizzi la base utilizzando gran-smith. Non so se ci sono altri modi.
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