Endomorfismi autoaggiunti?

[MementoMori2]

Salve ragazzi, vi allego l'esercizio che non riesco a risolvere, avete qualche suggerimento per gli ultimi due punti

[Sk_Anonymous]

Cambio un po' la notazione e faccio mente locale (è passato qualche anno ormai...): si può provare che dati due spazi vettoriali \(V\) e \(W\) e un omomorfismo \(\phi \in \text{Hom}_K (V,W)\), allora esiste un'unica applicazione lineare \(\phi^{*} : W^{*} \to V^{*}\) legata a \(\phi\) dalle relazioni \( \phi^{*} (w^{*}) \circ v = w^* \circ \phi (v) \) ( - se \(V\) spazio vettoriale, \(\circ : V^* \times V \to K\) è la dualità canonica definita da \(v^* \circ v = v^* (v) \), mentre \(V^* = \text{Hom}_K (V,K)\)), per ogni \(v \in V\) e \(w^* \in W^*\).

Io ricordo che \(\phi^* : W^* \to V^*\) mi venne introdotta come trasposta, ma dovrebbe essere la stessa cosa.

In tal caso si ha che \(x^* \in \ker (\phi^*)\) sse \(\phi^* (x^*) \circ v = 0 \ \forall \, v \in V\) sse \( x^* \circ \phi (v) = 0 \ \forall \, v \in V\) sse \(x^* \in ( \text{im } \phi)^{\bot}\); ricordando che se \(W\) è sottospazio di \(V\), allora \( (W^{\bot})^{\bot} = W\), abbiamo 4: infatti \(\ker (\phi^*) = (\text{im } \phi)^{\bot}\) sse \(\ker (\phi^*) ^{\bot} = \text{im } \phi\).

Per quanto invece riguarda 3, se \(y^* = \phi^* (x^*)\) allora dato \(v \in \ker \phi\) si ha \[y^* \circ v = \phi^* (x^*) \circ v = x^* \circ \phi (v) = 0 \] donde \(\text{im } \phi^* \subseteq (\ker \phi)^{\bot} \). Per l'uguaglianza bisognerà far di conto con le dimensioni.