Endomorfismi aggiunti e prodotti scalari

[Angus1956]

Vorrei sapere se queste dimostrazioni/definizioni siano giuste:
1)Esistenza dell'endomorfismo aggiunto:
Prendiamo $V$ spazio vettoriale di dimensione finita su un campo $K$. Sia $\beta$ una forma bilineare simmetrica non degenere. Definita l'applicazione $B_r:V->V$* (ovvero scelto $vinV$ $B_r(v)$ è nel duale e vale $B_r(v)(w)=\beta(v,w)$ $AAwinV$) siccome $\beta$ è non degenere allora $Br$ è un isomorfismo per cui:
$AA\varphiinV$* $EE!u_(\varphi)inV$ tale che $\varphi(v)=beta(v,u_(\varphi))$. Sia $finEnd(V)$. Prendiamo $winV$, la funzione $\psi(v)=beta(f(v),w)$ è lineare. Quindi ogni $winV$ definisce un elemento di $V$*, per cui esiste unico $f^(add)(w)=u_(\varphi)inV$ tale che $beta(f(v),w)=beta(v,f^(add)(w))$ dove $f^(add)$ è l'endomorfismo aggiunto di $f$ relativo a $beta$.

(da adesso supponiamo $<,>$ un prodotto scalare in $RR$)
2)Prendiamo la funzione $\phi(v)=$, essa rappresenta la forma quadratica associata a $beta(v,w)=$. Allora presa una base, $\phi$ è un polinomio omogeneo di secondo grado e quindi è continua.

3)Consideriamo l'insieme $S={vinV| sqrt()=1}$. Perchè $S$ è un insieme chiuso e limitato?

[Lebesgue]

"andreadel1988":Vorrei sapere se queste dimostrazioni/definizioni siano giuste
3)Consideriamo l'insieme $S={vinV| sqrt()=1}$. Perchè $S$ è un insieme chiuso e limitato?

$S$ è l'insieme dei vettori di $V$ di norma unitaria.
La limitatezza è dovuta al fatto che la $||v||=\sqrt(\sum_(i=1)^n v_i^2)$, per cui necessariamente deve essere un insieme limitato, nel senso che non puoi prendere vettori troppo grandi, altrimenti la norma va troppo oltre 1.

La chiusura è dovuta al fatto che $S$ è un sottoinsieme di $RR^n$ definito da una equazione, per cui è chiuso (qui ci servirebbero delle nozioni di base di topologia per capirlo appieno, in linea di massima, ti basti sapere che se su $RR^n$ un insieme è definito da una equazione o una disequazione $le,\ge$, allora è chiuso).
Volendo, l'insieme $S$ è chiuso perché, presa una successione $(v^((n)))_(n\in NN)$ di suoi elementi che converge ad un certo elemento $v_(\infty)$, l'elemento di convergenza appartiene ancora ad $S$, infatti:

$||v_\infty||=||\lim_(n\to \infty) v^((n)) || = \lim_(n\to \infty) ||v^((n))||= \lim_(n\to \infty) 1 = 1 $

Dove: la seconda uguaglianza segue dal fatto che la norma è una funzione continua
la terza uguaglianza segue dal fatto che i $v^((n))$ sono elementi di $S$, dunque hanno tutti norma unitaria.

[Angus1956]

"Lebesgue":
$S$ è l'insieme dei vettori di $V$ di norma unitaria.
La limitatezza è dovuta al fatto che la $||v||=\sqrt(\sum_(i=1)^n v_i^2)$, per cui necessariamente deve essere un insieme limitato, nel senso che non puoi prendere vettori troppo grandi, altrimenti la norma va troppo oltre 1.

La chiusura è dovuta al fatto che $S$ è un sottoinsieme di $RR^n$ definito da una equazione, per cui è chiuso (qui ci servirebbero delle nozioni di base di topologia per capirlo appieno, in linea di massima, ti basti sapere che se su $RR^n$ un insieme è definito da una equazione o una disequazione $le,\ge$, allora è chiuso).
Volendo, l'insieme $S$ è chiuso perché, presa una successione $(v^((n)))_(n\in NN)$ di suoi elementi che converge ad un certo elemento $v_(\infty)$, l'elemento di convergenza appartiene ancora ad $S$, infatti:

$||v_\infty||=||\lim_(n\to \infty) v^((n)) || = \lim_(n\to \infty) ||v^((n))||= \lim_(n\to \infty) 1 = 1 $

Dove: la seconda uguaglianza segue dal fatto che la norma è una funzione continua
la terza uguaglianza segue dal fatto che i $v^((n))$ sono elementi di $S$, dunque hanno tutti norma unitaria.

Ok grazie mille, il resto che ho detto è giusto?

[Lebesgue]

La 2) è sicuramente corretta.

Per quanto riguarda la 1), a me sembra giusta, però ammetto di non rivedere nel dettaglio le dimostrazioni da un po' di anni

[Angus1956]

"Lebesgue":La 2) è sicuramente corretta.

Per quanto riguarda la 1), a me sembra giusta, però ammetto di non rivedere nel dettaglio le dimostrazioni da un po' di anni

Perfetto, grazie mille

[Angus1956]

"Lebesgue":
Volendo, l'insieme $S$ è chiuso perché, presa una successione $(v^((n)))_(n\in NN)$ di suoi elementi che converge ad un certo elemento $v_(\infty)$

Come fai a dire che in $S$ esiste una successione che converge? Io avevo pensato invece siccome $S$ è limitato allora ogni successione è limitata e quindi dal teorema di Bolzano Weierstrass sappiamo che esiste una sottosuccessione per ogni successione che converge e poi fare quello che hai detto tu, non so se può andar bene.

[Lebesgue]

Sono tutte nozioni di topologia, quando seguirai un corso di topologia capirai meglio.
In uno spazio metrico (tipo $RR^n$), un sottoinsieme $S$ è chiuso se contiene tutti i punti limite delle sue successioni convergenti.
Se ho uno spazio in cui non esistono successioni convergenti, allora non ho nulla da controllare (ma spazi di questo tipo non esistono: banalmente le successioni costanti convergono sempre a loro stesse, quindi almeno una successione convergente ce l'hai sempre ).
Se invece ho una successione $a_n\to a_\infty$, allora devo controllare che $a_\infty\in S$.

[Angus1956]

"Lebesgue":Sono tutte nozioni di topologia, quando seguirai un corso di topologia capirai meglio.
In uno spazio metrico (tipo $RR^n$), un sottoinsieme $S$ è chiuso se contiene tutti i punti limite delle sue successioni convergenti.
Se ho uno spazio in cui non esistono successioni convergenti, allora non ho nulla da controllare (ma spazi di questo tipo non esistono: banalmente le successioni costanti convergono sempre a loro stesse, quindi almeno una successione convergente ce l'hai sempre ).
Se invece ho una successione $a_n\to a_\infty$, allora devo controllare che $a_\infty\in S$.

A no vabbe ho riletto il teorema di caratterizzazione degli insiemi chiusi, dice soltanto che se una successione converge allora il limite deve appartenere all'insieme, non c'entra niente il fatto che ce ne siano o meno basta che se ci sono rispettano questa proprietà. Comunque la norma è una funzione continua poichè è una forma quadratica e quindi un polinomio di secondo grado omogeneo?

[Lebesgue]

"andreadel1988":
Comunque la norma è una funzione continua poichè è una forma quadratica e quindi un polinomio di secondo grado omogeneo?

Sì esatto, è la radice quadrata del prodotto scalare, quindi è la radice quadrata di una somma di termini tutti $\ge 0$ ed è quindi continua (la vedi come funzione da $RR^n$ in $RR$)