Endomorfismi

[brilla1]

Buonasera! Avrei alcuni dubbi da chiarire in relazione al seguente esercizio.

Sono dati i seguenti vettori di $RR^4$: $u_1 = (1, 2, 1, 1)$, $u_2 = (0, 2, 0, 2)$, $u_3 = (1, 1, 0, 0)$, $u_4 = (1, 0, 0, 0)$
(a) provare che $(u_1, u_2, u_3, u_4)$ formano una base di $RR^4$;
(b) provare che esiste un solo endomorfismo $f$ di $RR^4$ tale che
$f(u_1) = u_4, f(u_2) = u_4, f(u_3) = u_3, f(u_4) = 2 u_4$
e trovare la matrice associata ad f rispetto alla base $(u_1, u_2, u_3, u_4)$;
(c) stabilire se f e’ un endomorfismo semplice.

Andiamo con ordine:
(a) per provare che i vettori $(u_1, u_2, u_3, u_4)$ formano una base di R4, mi son limitata a dimostrare che i vettori sono l.i. tra di loro.
(b) anche per quanto riguarda questo punto dimostro che i vettori sono l.i e calcolo la matrice associata considerando ogni vettore $(u_4, u_4, u_3, 2 u_4)$ come combinazione lineare delle componenti delle loro basi.
La matrice associata ad f rispetto alla base $(u_1, u_2, u_3, u_4)$ è quindi:

$((0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,1,0),(1,1,1,2))$

(c) nel momento in cui mi chiede di stabilire se f è semplice devo prendere in considerazione la matrice associata o i vettori aventi come base $(u_1, u_2, u_3, u_4)$?

Il mio modo di operare risulta corretto? Potreste aiutarmi a risolvere l'enigma sul punto c ?
Grazie.

[Sk_Anonymous]

Mi pare che ci sia un \(\displaystyle 1 \) di troppo, nella matrice (quarta riga, terza colonna). Il resto mi sembra tutto in ordine.
Per il punto c: cosa intendi per endomorfismo semplice? Io non ho mai sentito questa dicitura.

[brilla1]

Riconosco l' 1 di troppo, lì dove sarebbe dovuto esserci uno 0. Grazie per la correzione.
Per endomorfismo semplice intendo l'esistenza di una base rispetto alla quale risulta diagonalizzabile la matrice associata all'endomorfismo. Di lì lo studio degli autovalori, che dovrebbero avere "n" soluzioni distinte (e con "n" indico la dimensione di V) o molteplicità algebrica = molteplicità geometrica.