Endomorfismi
Risposte
direi che verificare che è un sottospazio è immediato e poi per calcolare la dimensione io ho fatto così:
sia $A=((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i))\inL$ e tale che $Ae_1=Ae_2=Ae_3$ e osservi immediatamente che si deve avere $a=b=c$ e $d=e=f$ e $g=h=i$
e quindi hai che un generico elemento del tuo sotospazio è della forma $((a,a,a),(b,b,b),(c,c,c))$ e hai immediatamente che la dimensione è tre.
per il secondo punto puoi prendere $((1,1,1),(0,0,0),(0,0,0))$
ciao ciao
sia $A=((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i))\inL$ e tale che $Ae_1=Ae_2=Ae_3$ e osservi immediatamente che si deve avere $a=b=c$ e $d=e=f$ e $g=h=i$
e quindi hai che un generico elemento del tuo sotospazio è della forma $((a,a,a),(b,b,b),(c,c,c))$ e hai immediatamente che la dimensione è tre.
per il secondo punto puoi prendere $((1,1,1),(0,0,0),(0,0,0))$
ciao ciao
non ho capito niente
Vediamo L come insieme di matrici, associando ad ogni endomorfismo la sua matrice nella base canonica.
Allora una base di L è:
${((1,1,1),(0,0,0),(0,0,0)),((0,0,0),(1,1,1),(0,0,0)),((0,0,0),(0,0,0),(1,1,1))}$
Infatti ogni matrice in L è combinazione lineare delle tre di cui sopra, che sono linearmente indipendenti. Infatti una generica matrice in L si scrive così:
$((a,a,a),(b,b,b),(c,c,c))=a((1,1,1),(0,0,0),(0,0,0))+b((0,0,0),(1,1,1),(0,0,0))+c((0,0,0),(0,0,0),(1,1,1))$.
Allora una base di L è:
${((1,1,1),(0,0,0),(0,0,0)),((0,0,0),(1,1,1),(0,0,0)),((0,0,0),(0,0,0),(1,1,1))}$
Infatti ogni matrice in L è combinazione lineare delle tre di cui sopra, che sono linearmente indipendenti. Infatti una generica matrice in L si scrive così:
$((a,a,a),(b,b,b),(c,c,c))=a((1,1,1),(0,0,0),(0,0,0))+b((0,0,0),(1,1,1),(0,0,0))+c((0,0,0),(0,0,0),(1,1,1))$.
allora ricominciamo:
un endomorfismo di $RR^3$ può essere rappresentato da una matrice di ordine tre.
detto questo
per verificare che $L$ è sottospazio verifichiamo le condizioni di sottospazio:
1-$0$ inteso come applicazione nulla ovviamente sta in $L$
2- se $f\inL$ e $a\inRR$ ovviamente si ha che $af\inL$
3- se $f,g\inRR$ allora chiaramente $(f+g)e_1=(f+g)e_2=(f+g)e_3$.
per vedere la dimensione prendiamo una generica matrice di ordine tre $A=((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i))$ e imponiamo le condizioni cioè
$Ae_1=Ae_2=Ae_3$ e ottieni $(a,d,g)=(b,e,h)=(c,f,i)$ cioè $a=b=c$ $d=e=f$ $g=h=i$
e quindi $A=((a,a,a),(d,d,d),(g,g,g))$
e ovviamente avendo tre parametri liberi hai che $L$ è un sottospazio 3-dimensionale.... e una base è data dalle matrici:
$B=((1,1,1),(0,0,0),(0,0,0))$ $C=((0,0,0),(1,1,1),(0,0,0))$ $D=((0,0,0),(0,0,0),(1,1,1))$
e per il punto due basta che prendi la prima delle tre matrici che ti ho scritto in quanto soddisfa le condizioni richietste
un endomorfismo di $RR^3$ può essere rappresentato da una matrice di ordine tre.
detto questo
per verificare che $L$ è sottospazio verifichiamo le condizioni di sottospazio:
1-$0$ inteso come applicazione nulla ovviamente sta in $L$
2- se $f\inL$ e $a\inRR$ ovviamente si ha che $af\inL$
3- se $f,g\inRR$ allora chiaramente $(f+g)e_1=(f+g)e_2=(f+g)e_3$.
per vedere la dimensione prendiamo una generica matrice di ordine tre $A=((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i))$ e imponiamo le condizioni cioè
$Ae_1=Ae_2=Ae_3$ e ottieni $(a,d,g)=(b,e,h)=(c,f,i)$ cioè $a=b=c$ $d=e=f$ $g=h=i$
e quindi $A=((a,a,a),(d,d,d),(g,g,g))$
e ovviamente avendo tre parametri liberi hai che $L$ è un sottospazio 3-dimensionale.... e una base è data dalle matrici:
$B=((1,1,1),(0,0,0),(0,0,0))$ $C=((0,0,0),(1,1,1),(0,0,0))$ $D=((0,0,0),(0,0,0),(1,1,1))$
e per il punto due basta che prendi la prima delle tre matrici che ti ho scritto in quanto soddisfa le condizioni richietste
ho capito il punto 1 ma non capisco il punto 2 perchè quella matrice soddisfa le condizioni richieste?
perchè basta fare i calcoli....
ma quali calcoli?
calcolati il nucleo di quella matrice e vedrai che è proprio generato da $(1,0,-1)$ e $(0,1,-1)$ e che l'immagine di $B$ è generata da $(1,0,0)$
non lo so non riesco a capire, però tu questo lo dai già per scontato, se non lo capisco subito che è quella la matrice, come faccio con i calcoli a capire che la matrice è quella?
perchè l ho visto ad occhio... altrimenti prenid una generica matrice di $L$ e imponi che il suo nucleo sia quello e che la sua immagine sia contenuto in quel piano.
tutto qui.
tutto qui.
forse sarò io tufo però non capisco, avrei bisogno di vedere correttamente tutti i passaggi per capire
fai i conti prendi $B$.allora vedi che il rango è 1 quindi la sua immagine e se prendi $v=(1,0,0)$ hai che $Bv=v$ quindi $v$ genera l immagine di $B$ ed è contenuta ovviamente nello spazio generato da $(1,0,0)$ e $(0,0,1)$....
e visto che il rango è 1 allora il suo ker ha dimensione $2$ e se prendi $w=(1,0,-1)$ e $s=(0,1,-1)$ hai che $Bw=0$ e $Bs=0$ e si vede che $w$ e $s$ sono linearmente indipendenti...
adesso deve essere chiaro altrimenti prenditi un libro di algebra lineare 0,0001 e inizia da li
scherzo ovviamente.
ciao
e visto che il rango è 1 allora il suo ker ha dimensione $2$ e se prendi $w=(1,0,-1)$ e $s=(0,1,-1)$ hai che $Bw=0$ e $Bs=0$ e si vede che $w$ e $s$ sono linearmente indipendenti...
adesso deve essere chiaro altrimenti prenditi un libro di algebra lineare 0,0001 e inizia da li
scherzo ovviamente.
ciao
mi dispiace ma non ho capito 
mi dispiace ma nn so spiegartelo in altro modo.... spero che ti aiuti qualcun altro.
ciao ciap
ciao ciap
Un generico elemento di L è
$M=((a,a,a),(b,b,b),(c,c,c))$
Calcoliamone il nucleo. Ovvero troviamo quei vettori della forma (x,y,z) tali che:
$((a,a,a),(b,b,b),(c,c,c))((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$
Ciò significa:
$a(x+y+z)=0$
$b(x+y+z)=0$
$c(x+y+z)=0$
Le tre equazioni sono a sistema. Ne segue che se a, b, c sono nulli, il kernel è $RR^3$ (ma questo è ovvio: in tal caso M=0). Altrimenti uno tra a, b, c è non nullo, quindi dividendo per tale elemento non nullo l'equazione corrispondente otteniamo l'equazione del kernel:
$x+y+z=0$
Ciò è coerente col fatto che se uno tra a, b, c è non nullo allora M ha rango uno, infatti un sottospazio determinato da una equazione è un iperpiano, quindi in questo caso ha dimensione 3-1=2.
Ciò significa che se $f \in L$ non è l'applicazione nulla, allora $ker(f)$ è il sottospazio di $RR^3$ di equazione $x+y+z=0$. Una base per tale spazio è
${((1),(0),(-1)),((0),(1),(-1))}$.
Quindi la prima richiesta del testo si riduce a richiedere che $f \ne 0$.
Ora dato che il nucleo ha dimensione 2, l'immagine ha dimensione 1 = rango di M (dato che la loro somma deve dare 3, come già detto). Per inciso, se f è rappresentato dalla matrice
$((a,a,a),(b,b,b),(c,c,c))$
allora l'immagine di f è il sottospazio di $RR^3$ generato dal vettore
$((a),(b),(c))$.
Dato che vogliamo che l'immagine sia contenuta in
$< ((1),(0),(0)),((0),(0),(1))>$
basta per esempio scegliere
$((a),(b),(c))=((1),(0),(0))$.
Ma qualunque vettore non nullo di $< ((1),(0),(0)),((0),(0),(1))>$ sarebbe andato bene.
$M=((a,a,a),(b,b,b),(c,c,c))$
Calcoliamone il nucleo. Ovvero troviamo quei vettori della forma (x,y,z) tali che:
$((a,a,a),(b,b,b),(c,c,c))((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$
Ciò significa:
$a(x+y+z)=0$
$b(x+y+z)=0$
$c(x+y+z)=0$
Le tre equazioni sono a sistema. Ne segue che se a, b, c sono nulli, il kernel è $RR^3$ (ma questo è ovvio: in tal caso M=0). Altrimenti uno tra a, b, c è non nullo, quindi dividendo per tale elemento non nullo l'equazione corrispondente otteniamo l'equazione del kernel:
$x+y+z=0$
Ciò è coerente col fatto che se uno tra a, b, c è non nullo allora M ha rango uno, infatti un sottospazio determinato da una equazione è un iperpiano, quindi in questo caso ha dimensione 3-1=2.
Ciò significa che se $f \in L$ non è l'applicazione nulla, allora $ker(f)$ è il sottospazio di $RR^3$ di equazione $x+y+z=0$. Una base per tale spazio è
${((1),(0),(-1)),((0),(1),(-1))}$.
Quindi la prima richiesta del testo si riduce a richiedere che $f \ne 0$.
Ora dato che il nucleo ha dimensione 2, l'immagine ha dimensione 1 = rango di M (dato che la loro somma deve dare 3, come già detto). Per inciso, se f è rappresentato dalla matrice
$((a,a,a),(b,b,b),(c,c,c))$
allora l'immagine di f è il sottospazio di $RR^3$ generato dal vettore
$((a),(b),(c))$.
Dato che vogliamo che l'immagine sia contenuta in
$< ((1),(0),(0)),((0),(0),(1))>$
basta per esempio scegliere
$((a),(b),(c))=((1),(0),(0))$.
Ma qualunque vettore non nullo di $< ((1),(0),(0)),((0),(0),(1))>$ sarebbe andato bene.
ho capito il ragionamento di Martino, però non riesco a trovare una correlazione su ciò che chiede l'esercizio
Quella che ho scritto è la soluzione del punto b.
non potresti scrivermi esplicitamente di che applicazione si tratta?
Scusa è che avendotelo già detto Muemia, pensavo che fosse evidente.
Riprendo da dove mi ero fermato:
Dato che vogliamo che l'immagine sia contenuta in
$< ((1),(0),(0)),((0),(0),(1))>$
basta per esempio scegliere
$((a),(b),(c))=((1),(0),(0))$.
Ma qualunque vettore non nullo di $< ((1),(0),(0)),((0),(0),(1))>$ sarebbe andato bene.
Ne segue che la matrice che cerchiamo, che in partenza abbiamo chiamato
$((a,a,a),(b,b,b),(c,c,c))$
con la scelta che abbiamo fatto, ovvero $a=1$, $b=0$, $c=0$ diventa
$((1,1,1),(0,0,0),(0,0,0))$.
Riprendo da dove mi ero fermato:
Dato che vogliamo che l'immagine sia contenuta in
$< ((1),(0),(0)),((0),(0),(1))>$
basta per esempio scegliere
$((a),(b),(c))=((1),(0),(0))$.
Ma qualunque vettore non nullo di $< ((1),(0),(0)),((0),(0),(1))>$ sarebbe andato bene.
Ne segue che la matrice che cerchiamo, che in partenza abbiamo chiamato
$((a,a,a),(b,b,b),(c,c,c))$
con la scelta che abbiamo fatto, ovvero $a=1$, $b=0$, $c=0$ diventa
$((1,1,1),(0,0,0),(0,0,0))$.
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