Endomorfismi

[Volpes1]

Ciao. Qualcuno protrebbe darmi una via risolutiva per questo genere di esercizi Non so mai come devo procedere e cosa devo fare.

Sia f:R^3->R^3 l'endomorfismo tale che f( $ ( ( 5 ),( 5 ),( 5 ) ) $ = $ ( ( 15 ),( 15 ),(15 ) ) $ , f $ ( ( 1),( 2),( 3) ) $ = $ ( ( 4 ),( 5 ),( -3 ) ) $ , f $ (( -4),( 7 ),( -3 )) $=0.
Determinare la dimensione e una base di Imf. L'endomorfismo è diagonalizzabile? Se si trovare una base di R^3 costituita da autovettori di f.
Quale è la matrice su cui devo lavorare per trovare gli autovalori? Come si determina Imf?

[vict85]

La matrice \(\displaystyle A = \begin{pmatrix} 5 & 1 & -4 \\ 5 & 2 & 7 \\ 5 & 3 & -3 \end{pmatrix} \) ha determinante diverso da \(\displaystyle 0 \) e quindi quei tre vettori formano una base di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \). L'immagine di una base tramite una applicazione lineare genera l'immagine dell'applicazione. Quindi devi estrarre una base dai quei tre vettori immagine. Ti è chiaro questo aspetto. Comincia a fare questi passaggi.

Sai costruire matrici associate a basi arbitrarie?

[Volpes1]

No non lo so fare! Di questo esercizio so solamente calcolare il determinante egli autovalori. La dimensione e la base sono punti oscuri così come Il nucleo, che in questo esercizio non è richiesto ma che in altri lo richiede

[vict85]

Non puoi fare algebra lineare senza comprendere cosa siano dimensione, basi e nuclei. Vai a studiarteli e poi riprova questi esercizi.

[Volpes1]

Ho trovato questo:
Poichè Imf è generato dalle immagini dei vettori della base canonica di R^3 si ha
Imf =L[( 15,15,15),(4,5,-3)]=R^2
quindi una base di Imf è (15,15,15),(4,5,-3) e dim Imf =2

Kerf =[v= (x,y,z)/ f(v)=0]
e risolvendo il sistema ho trovato soluzioni del tipo ( 3t,-11t,t) e quindi ker f= (3,-11,1) e la sua dimensione è 1.

Ma non capisco perchè sul mio libro di geometria in altri esercizi tipo questo, per costruire la matrice ha preso i numeri che sono dopo l'uguale.
ma io come faccio a capire quali devo prendere?