End inverso.EDIT: esercizio relativo a un endomorfismo
Dato un endomorfismo, qual è il modo più rapido per calcolare la sua funzione inversa?
Risposte
Secondo me conviene trovare la matrice associata all'endomorfismo e trovare la sua inversa con il metodo di Gauss-Jordan (il più rapido).
Io ho iniziato a studiarlo cercando la matrice inversa della sua matrice associata, ma poi mi sono chiesta se non esistesse un metodo più rapido. Io per trovare la matrice inversa moltiplico la matrice aggiunta per il reciproco del determinante relativo alla matrice associata, non so se questo è il metodo che intendi tu!
La matrice relativa all'endomorfismo è $A=((1,0,0,0),(1,2,0,0),(1,-1,-2,0),(1,1,1,-1))$
ho calcolato l'inversa, dovrebbe essere questa: $A^-1=((1,0,0,0),(-1/2,1/2,0,0),(3/4,-1/4,-1/2,0),(5/4,1/4,-1/2,-1))$
qualcuno ha voglia di cimentarsici e dirmi se ho svolto correttamente i calcoli?
La matrice relativa all'endomorfismo è $A=((1,0,0,0),(1,2,0,0),(1,-1,-2,0),(1,1,1,-1))$
ho calcolato l'inversa, dovrebbe essere questa: $A^-1=((1,0,0,0),(-1/2,1/2,0,0),(3/4,-1/4,-1/2,0),(5/4,1/4,-1/2,-1))$
qualcuno ha voglia di cimentarsici e dirmi se ho svolto correttamente i calcoli?
Il metodo che dice VINX si può implementare a mano così:
prendi la matrice $A$ e scrivila affiancata alla matrice identica
$(A, I)$
Ora operando trasformazioni elementari sulle righe trasforma il blocco corrispondente alla matrice $A$ nella matrice identica. Il blocco $I$ si trasformerà di conseguenza, e alla fine si avrà una cosa come
$(I, B)$
La matrice $B$ (che ha "tenuto traccia" delle trasformazioni elementari sulle righe che hai eseguito) è l'inversa di $A$.
prendi la matrice $A$ e scrivila affiancata alla matrice identica
$(A, I)$
Ora operando trasformazioni elementari sulle righe trasforma il blocco corrispondente alla matrice $A$ nella matrice identica. Il blocco $I$ si trasformerà di conseguenza, e alla fine si avrà una cosa come
$(I, B)$
La matrice $B$ (che ha "tenuto traccia" delle trasformazioni elementari sulle righe che hai eseguito) è l'inversa di $A$.
Credo di aver capito, ma a me sembra più complesso!
E allora usa pure il metodo di Cramer come hai fatto prima. Purtroppo il problema di trovare la matrice inversa richiede sempre parecchi conti. A livello numerico si dimostra che il metodo di Cramer ne richiede di più, però.
Grazie comunque, con calma proverò ad imparare ad utilizzare anche gli altri procedimenti.
Mi sto perdendo in un esercizio probabilmente molto banale. Come faccio a calcolare la matrice relativa a $f$ rispetto alla base di autovettori? ...La base di autovettori l'ho già calcolata
credo si tratti della matrice che ha lungo la diagonale principale gli autovalori ripetuti con la loro molteplicità, ma il metodo per calcolarla, se volessimo in qualche modo fare una verifica, qual è? (sempre che sia corretto quello che ho scritto prima!)
Posto tutti i passaggi dell'esercizio e cambio il titolo del post.
Si calcoli la matrice A del seguente endomorfismo di R4, rispetto alla base canonica: $f(x,y,z,t)=(x,x+2y,x+y-2z,x+y+z-t)$
$A=((1,0,0,0),(1,2,0,0),(1,-1,-2,0),(1,1,1,-1))$
1) Si dica se f è invertibile e se ne calcoli l'inversa
$DetA!=0$ $DetA=4$ quindi $A$ è invertibile, di conseguenza lo è anche $f$
$A^-1=((1,0,0,0),(-1/2,1/2,0,0),(3/4,-1/4,-1/2,0),(5/4,1/4,-1/2,-1))$
$f^(-1)(x,y,z,t)=(x,-1/2x +1/2y, 3/4x -1/4y-1/2z,5/4x+1/4y-1/2z-t)$
2)si calcolino gli autovalori di $f$
$P_((lambda))=(1-lambda)(1+lambda)(2-lambda)(2+lambda)$
gli autovalori sono quindi $+1,-1,+2,-2$
3) si trovi una base di autovettori e la matrice di passaggio dalla base canonica a quella di autovettori
Ho calcolato gli autospazi
$V(1)=L(3,-3,2,1)$
$V(-1)=L(0,0,0,1)$
$V(2)=L(0,4,-1,1)$
$V(-2)=L(0,0,-1,1)$
la base di autovettori è $B={(3,-3,2,1),(0,0,0,1),(0,4,-1,1),(0,0,-1,1)}$
La matrice di passaggio che ho trovato è:
$P=((-1/3,0,0,0),(0,0,1,1),(3/2,-1/2,0,0),(-3/2,1/2,-1,0))$
.....Com'è la matrice di $f$ rispetto alla base $B$? io ho provato a fare $PAP^(-1)$ , ma non mi da una matrice diagonale che, invece, mi aspetto di trovare. Non so se ho fatto qualche errore di calcolo oppure se a monte cìè un errore concettuale
credo si tratti della matrice che ha lungo la diagonale principale gli autovalori ripetuti con la loro molteplicità, ma il metodo per calcolarla, se volessimo in qualche modo fare una verifica, qual è? (sempre che sia corretto quello che ho scritto prima!)
Posto tutti i passaggi dell'esercizio e cambio il titolo del post.
Si calcoli la matrice A del seguente endomorfismo di R4, rispetto alla base canonica: $f(x,y,z,t)=(x,x+2y,x+y-2z,x+y+z-t)$
$A=((1,0,0,0),(1,2,0,0),(1,-1,-2,0),(1,1,1,-1))$
1) Si dica se f è invertibile e se ne calcoli l'inversa
$DetA!=0$ $DetA=4$ quindi $A$ è invertibile, di conseguenza lo è anche $f$
$A^-1=((1,0,0,0),(-1/2,1/2,0,0),(3/4,-1/4,-1/2,0),(5/4,1/4,-1/2,-1))$
$f^(-1)(x,y,z,t)=(x,-1/2x +1/2y, 3/4x -1/4y-1/2z,5/4x+1/4y-1/2z-t)$
2)si calcolino gli autovalori di $f$
$P_((lambda))=(1-lambda)(1+lambda)(2-lambda)(2+lambda)$
gli autovalori sono quindi $+1,-1,+2,-2$
3) si trovi una base di autovettori e la matrice di passaggio dalla base canonica a quella di autovettori
Ho calcolato gli autospazi
$V(1)=L(3,-3,2,1)$
$V(-1)=L(0,0,0,1)$
$V(2)=L(0,4,-1,1)$
$V(-2)=L(0,0,-1,1)$
la base di autovettori è $B={(3,-3,2,1),(0,0,0,1),(0,4,-1,1),(0,0,-1,1)}$
La matrice di passaggio che ho trovato è:
$P=((-1/3,0,0,0),(0,0,1,1),(3/2,-1/2,0,0),(-3/2,1/2,-1,0))$
.....Com'è la matrice di $f$ rispetto alla base $B$? io ho provato a fare $PAP^(-1)$ , ma non mi da una matrice diagonale che, invece, mi aspetto di trovare. Non so se ho fatto qualche errore di calcolo oppure se a monte cìè un errore concettuale
"Paola90":
Mi sto perdendo in un esercizio probabilmente molto banale. Come faccio a calcolare la matrice relativa a $f$ rispetto alla base di autovettori? ...La base di autovettori l'ho già calcolata
credo si tratti della matrice che ha lungo la diagonale principale gli autovalori ripetuti con la loro molteplicità, ma il metodo per calcolarla, se volessimo in qualche modo fare una verifica, qual è? (sempre che sia corretto quello che ho scritto prima!)
Posto tutti i passaggi dell'esercizio e cambio il titolo del post.
Si calcoli la matrice A del seguente endomorfismo di R4, rispetto alla base canonica: $f(x,y,z,t)=(x,x+2y,x+y-2z,x+y+z-t)$
$A=((1,0,0,0),(1,2,0,0),(1,-1,-2,0),(1,1,1,-1))$
1) Si dica se f è invertibile e se ne calcoli l'inversa
$DetA!=0$ $DetA=4$ quindi $A$ è invertibile, di conseguenza lo è anche $f$
$A^-1=((1,0,0,0),(-1/2,1/2,0,0),(3/4,-1/4,-1/2,0),(5/4,1/4,-1/2,-1))$
$f^(-1)(x,y,z,t)=(x,-1/2x +1/2y, 3/4x -1/4y-1/2z,5/4x+1/4y-1/2z-t)$
....
guarda che $A^-1=((1,0,0,0),(-1/2,1/2,0,0),(3/4,-1/4,-1/2,0),(5/4,1/4,-1/2,-1))$ è sbagliata! Dovrebbe essere:
$A^-1=((1,0,0,0),(-1/2,1/2,0,0),(1/4,1/4,-1/2,0),(3/4,3/4,-1/2,-1))$
"Paola90":
2)si calcolino gli autovalori di $f$
$P_((lambda))=(1-lambda)(1+lambda)(2-lambda)(2+lambda)$
gli autovalori sono quindi $+1,-1,+2,-2$
3) si trovi una base di autovettori e la matrice di passaggio dalla base canonica a quella di autovettori
Ho calcolato gli autospazi
$V(1)=L(3,-3,2,1)$
$V(-1)=L(0,0,0,1)$
$V(2)=L(0,4,-1,1)$
$V(-2)=L(0,0,-1,1)$
la base di autovettori è $B={(3,-3,2,1),(0,0,0,1),(0,4,-1,1),(0,0,-1,1)}$
La matrice di passaggio che ho trovato è:
$P=((-1/3,0,0,0),(0,0,1,1),(3/2,-1/2,0,0),(-3/2,1/2,-1,0))$
.....Com'è la matrice di $f$ rispetto alla base $B$? io ho provato a fare $PAP^(-1)$ , ma non mi da una matrice diagonale che, invece, mi aspetto di trovare. Non so se ho fatto qualche errore di calcolo oppure se a monte cìè un errore concettuale
per quanto riguarda la seconda parte, anche li ci sono degli errori. Allora i calcoli sarebbero:
$P_((lambda))=(1-lambda)(1+lambda)(2-lambda)(2+lambda)$
gli autovalori sono quindi $+1,-1,+2,-2$
3) Autospazi
$V(1)=L(1,-1,0,0)$
$V(-1)=L(0,0,0,1)$
$V(2)=L(0,4,1,5/3)$
$V(-2)=L(0,0,1,-1)$
Base di autovettori è $B={(1,-1,0,0),(0,0,0,1),(0,4,1,5/3),(0,0,1,-1)}$
Matrice di passaggio:
$P=((1,0,0,0),(1/4,1/4,0,0),(-1/4,-1/4,1,0),(-2/3,-2/3,1,1))$
e l'inversa
$P^(-1)=((1,0,0,0),(-1,4,0,0),(0,1,1,0),(0,5/3,-1,1))$
quindi la matrice che cerchi, ovvero quella rispetto agli autovettori è $B=PAP^(-1)$ e sarà questa:
$B=((1,0,0,0),(0,2,0,0),(0,0,-2,0),(0,0,0,-1))$
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