Eliminazione di Gauss

[asder83]

$ ( ( 1 , -1 , -1 , 1 , |0 ),( 2 , -2 , 1 , -1 , |0 ),( 1 , -1 , 2 , -2 , |1 ) ) $

ridotta a gradini risulta

$ ( ( 1 , -1 , -1 , 1 , |0 ),( 0 , 0 , 3 , -3 , |0 ),( 0 , 0 , 3 , -3 , |1 ) ) $

devo dimostrare che non ammette soluzioni

(io per dimostrare che un sistema non ammette soluzioni, solitamente trovo un pivot nella colonna dei termini noti)

questa matrice si DEVE ridurre ancora o si lascia così ?
se la riduco ancora a gradini, trovo un pivot nella colonna dei termini noti.
ma volevo sapere se posso dimostrare che non ammette soluzioni, senza ridurla ulteriormente.

se la rimango così com'è, trovo che $rango(A|b)=rango(A)$ quindi il sistema è compatibile.

[shiva28]

Questa matrice

$ ( ( 1 , -1 , -1 , 1 , |0 ),( 0 , 0 , 3 , -3 , |0 ),( 0 , 0 , 3 , -3 , |1 ) ) $


La puoi ancora ridurre sottraendo alla terza riga, la seconda:

$ ( ( 1 , -1 , -1 , 1 , |0 ),( 0 , 0 , 3 , -3 , |0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , |1 ) ) $

[shiva28]

Dal quale $rg(A)=2$, mentre $rg(A|B)=3$. Quindi il sistema è incompatibile.

[Sk_Anonymous]

"chry11":
se la rimango così com'è, trovo che $rango(A|b)=rango(A)$ quindi il sistema è compatibile.

Non è vero; infatti:

$rk(A|b)=rk(( 1 , -1 , -1 , 1 , |0 ),( 0 , 0 , 3 , -3 , |0 ),( 0 , 0 , 3 , -3 , |1 ))=3$

$rk(A)=rk(( 1 , -1 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 3 , -3 ),( 0 , 0 , 3 , -3 ))=2$

Saluti.

[asder83]

scusa alessandro ma i pivot della matrice $(A|b)$ sono $1$ (prima riga, prima colonna) e $3$ (terza riga, terza colonna)

[shiva28]

"chry11":ma i pivot della matrice $(A|b)$ sono $1$ (prima riga, prima colonna) e $3$ (terza riga, terza colonna)

Il $3$ sulla terza riga, terza colonna non è un pivot, devi ancora ridurre la matrice per vederlo.

[shiva28]

La puoi ancora ridurre sottraendo alla terza riga, la seconda:

$ (A|B)=( ( 1 , -1 , -1 , 1 , |0 ),( 0 , 0 , 3 , -3 , |0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , |1 ) ) $

I pivot della matrice $(A|B)$ sono tre: $1,3,1$. Quindi $rk(A|B)=3$

$A= ( ( 1 , -1 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 3 , -3 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $

Di conseguenza i pivot della matrice $A$ sono due: $1,3$. Ciò implica che $rk(A)=2$

[Sk_Anonymous]

"Polar28":
Il $ 3 $ sulla terza riga, terza colonna non è un pivot, devi ancora ridurre la matrice per vederlo.

Esatto; comunque, anche senza considerare i pivot, si nota che, data

$(( 1 , -1 , -1 , 1 , |0 ),( 0 , 0 , 3 , -3 , |0 ),( 0 , 0 , 3 , -3 , |1 ))$

si ha, dal concetto di rango, che

$dimmathcalL{( 1 , -1 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 3 , -3 ),( 0 , 0 , 3 , -3 )}=2$

mentre

$dimmathcalL{( 1 , -1 , -1 , 1 , |0 ),( 0 , 0 , 3 , -3 , |0 ),( 0 , 0 , 3 , -3 , |1 )}=3$

Saluti.

[asder83]

io so che bisogna fermarsi con l'eliminazione di Gauss quando tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale sono $=0$
nel mio caso la diagonale principale è $ ( ( 1 , , , , | ),( , 0 , , , | ),( , , 3 , , | ) ) $
e gli elementi al di sotto della diagonale principale sono $=0$

[Sk_Anonymous]

"chry11":io so che bisogna fermarsi con l'eliminazione di Gauss quando tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale sono $ =0 $

Ciao.

Il mio post precedente ti conferma, per l'appunto, il fatto che l'algoritmo di Gauss debba essere completato al cento per cento[nota]Cioè: la matrice triangolare superiore ottenuta, deve avere vettori riga linearmente indipendenti, righe nulle a parte.[/nota], prima di poter procedere all'esame dei pivot della matrice triangolare superiore ottenuta, altrimenti si potrebbero commettere errori anche madornali (come in questo caso).

Saluti.