Elementi di simmetria di un fascio di coniche
Ciao a tutti! Vi chiedo una cortesia grandissima, a brave ho l'esame di algebra e ho un atroce dubbio: come faccio a trovare gli elementi di simmetria per un fascio di coniche? Posto un esercizio sperando in una risposta
Si considerino le coniche A e B di equazioni rispettivamente $ xy = 0 $ e $ x^2 +y^2 −2x+2y = 0 $ ed il fascio F da esse individuato.
Determinare gli eventuali assi e centri di simmetria comuni a tutte le coniche di F.
Ho gia creato il fascio con A + kB=0 così da murare la degenere.
Ho trovato la matrice completa associata al fascio e penso di aver trovato il centro di A (ellisse) C=(1,-1)
come verifico gli elementi di simmetria?
Grazie mille anticipatamente
Si considerino le coniche A e B di equazioni rispettivamente $ xy = 0 $ e $ x^2 +y^2 −2x+2y = 0 $ ed il fascio F da esse individuato.
Determinare gli eventuali assi e centri di simmetria comuni a tutte le coniche di F.
Ho gia creato il fascio con A + kB=0 così da murare la degenere.
Ho trovato la matrice completa associata al fascio e penso di aver trovato il centro di A (ellisse) C=(1,-1)
come verifico gli elementi di simmetria?
Grazie mille anticipatamente
Risposte
Per comodità scrivo l'equazione del fascio come segue :
$A(x^2+y^2-2x+2y)+2B(xy)=0$
Il centro C della generica conica del fascio ha coordinate proiettive date da :
$C=(A^2+AB,-A^2-AB,A^2-B^2)$
Se risulta $A^2=B^2$, ovvero se è $B=\+-A$, si hanno le due parabole del fascio di equazioni rispettive:
(1) $(x+y)^2-2(x-y) =0$
(2) $(x-y)(x-y-2)=0$
Come è facile verificare, queste due parabole hanno come comune elemento di simmetria solo la retta di equazione:
$x+y=0$ [che è poi l'asse della parabola (1)]. Dimostro che tale retta è anche l'unico elemento di simmetria comune alle coniche del fascio che sono a centro, quelle cioè per le quali $A^2\ne B^2$. In tal caso si ha :
$C\equiv(A/{A-B},-A/{A-B})$
Ora gli elementi di simmetria comuni alle coniche ( a centro) del fascio sono i due assi ( ed il loro punto comune) ed
è noto che gli assi di una conica sono le rette passanti per il centro e parallele ai due autovettori relativi agli autovalori della forma quadratica associata al fascio.
Per regole note gli autovalori sono dati dall'equazione :
\(\displaystyle det\begin{pmatrix}A-\lambda&B\\B&A-\lambda\end{pmatrix}=0 \)
da cui : $\lambda_{1,2}=A\+-B$
Gli autovettori corrispondenti sono :
$x+y=0, x-y=0$
e le rette passanti per C e parallele agli autovettori ( ovvero gli assi di simmetria) sono le rette di equazioni :
(1) $(x-A/{A-B})+(y+A/{A-B})=0$
(2) $(x-A/{A-B})-(y+A/{A-B})=0$
Ovvero :
(1') $x+y=0$
(2') $x-y={"2A}/{A-B}$
Di esse solo la (1') è elemento di comune simmetria, mentre l'altra dipende dai parametri A e B.
C.V.D.
$A(x^2+y^2-2x+2y)+2B(xy)=0$
Il centro C della generica conica del fascio ha coordinate proiettive date da :
$C=(A^2+AB,-A^2-AB,A^2-B^2)$
Se risulta $A^2=B^2$, ovvero se è $B=\+-A$, si hanno le due parabole del fascio di equazioni rispettive:
(1) $(x+y)^2-2(x-y) =0$
(2) $(x-y)(x-y-2)=0$
Come è facile verificare, queste due parabole hanno come comune elemento di simmetria solo la retta di equazione:
$x+y=0$ [che è poi l'asse della parabola (1)]. Dimostro che tale retta è anche l'unico elemento di simmetria comune alle coniche del fascio che sono a centro, quelle cioè per le quali $A^2\ne B^2$. In tal caso si ha :
$C\equiv(A/{A-B},-A/{A-B})$
Ora gli elementi di simmetria comuni alle coniche ( a centro) del fascio sono i due assi ( ed il loro punto comune) ed
è noto che gli assi di una conica sono le rette passanti per il centro e parallele ai due autovettori relativi agli autovalori della forma quadratica associata al fascio.
Per regole note gli autovalori sono dati dall'equazione :
\(\displaystyle det\begin{pmatrix}A-\lambda&B\\B&A-\lambda\end{pmatrix}=0 \)
da cui : $\lambda_{1,2}=A\+-B$
Gli autovettori corrispondenti sono :
$x+y=0, x-y=0$
e le rette passanti per C e parallele agli autovettori ( ovvero gli assi di simmetria) sono le rette di equazioni :
(1) $(x-A/{A-B})+(y+A/{A-B})=0$
(2) $(x-A/{A-B})-(y+A/{A-B})=0$
Ovvero :
(1') $x+y=0$
(2') $x-y={"2A}/{A-B}$
Di esse solo la (1') è elemento di comune simmetria, mentre l'altra dipende dai parametri A e B.
C.V.D.
Per comodità scrivo l'equazione del fascio come segue :
$A(x^2+y^2-2x+2y)+2B(xy)=0$
Il centro C della generica conica del fascio ha coordinate proiettive date da :
$C=(A^2+AB,-A^2-AB,A^2-B^2)$
Se risulta $A^2=B^2$, ovvero se è $B=\+-A$, si hanno le due parabole del fascio di equazioni rispettive:
(1) $(x+y)^2-2(x-y) =0$
(2) $(x-y)(x-y-2)=0$
Come è facile verificare, queste due parabole hanno come comune elemento di simmetria solo la retta di equazione:
$x+y=0$ [che è poi l'asse della parabola (1)]. Dimostro che tale retta è anche l'unico elemento di simmetria comune alle coniche del fascio che sono a centro, quelle cioè per le quali $A^2\ne B^2$. In tal caso le coordinate cartesiane di C sono :
$C\equiv(A/{A-B},-A/{A-B})$
Ora gli elementi di simmetria comuni alle coniche ( a centro) del fascio sono i due assi ( ed il loro punto comune) ed
è noto che gli assi di una conica sono le rette passanti per il centro e parallele ai due autovettori relativi agli autovalori della forma quadratica associata al fascio.
Per regole note gli autovalori sono dati dall'equazione :
\(\displaystyle det\begin{pmatrix}A-\lambda&B\\B&A-\lambda\end{pmatrix}=0 \)
da cui : $\lambda_{1,2}=A\+-B$
Gli autovettori corrispondenti sono :
$x+y=0, x-y=0$
e le rette passanti per C e parallele agli autovettori ( ovvero gli assi di simmetria) sono le rette di equazioni :
(1) $(x-A/{A-B})+(y+A/{A-B})=0$
(2) $(x-A/{A-B})-(y+A/{A-B})=0$
Ovvero :
(1') $x+y=0$
(2') $x-y={"2A}/{A-B}$
Di esse solo la (1') è elemento di comune simmetria, mentre l'altra dipende dai parametri A e B.
C.V.D.
$A(x^2+y^2-2x+2y)+2B(xy)=0$
Il centro C della generica conica del fascio ha coordinate proiettive date da :
$C=(A^2+AB,-A^2-AB,A^2-B^2)$
Se risulta $A^2=B^2$, ovvero se è $B=\+-A$, si hanno le due parabole del fascio di equazioni rispettive:
(1) $(x+y)^2-2(x-y) =0$
(2) $(x-y)(x-y-2)=0$
Come è facile verificare, queste due parabole hanno come comune elemento di simmetria solo la retta di equazione:
$x+y=0$ [che è poi l'asse della parabola (1)]. Dimostro che tale retta è anche l'unico elemento di simmetria comune alle coniche del fascio che sono a centro, quelle cioè per le quali $A^2\ne B^2$. In tal caso le coordinate cartesiane di C sono :
$C\equiv(A/{A-B},-A/{A-B})$
Ora gli elementi di simmetria comuni alle coniche ( a centro) del fascio sono i due assi ( ed il loro punto comune) ed
è noto che gli assi di una conica sono le rette passanti per il centro e parallele ai due autovettori relativi agli autovalori della forma quadratica associata al fascio.
Per regole note gli autovalori sono dati dall'equazione :
\(\displaystyle det\begin{pmatrix}A-\lambda&B\\B&A-\lambda\end{pmatrix}=0 \)
da cui : $\lambda_{1,2}=A\+-B$
Gli autovettori corrispondenti sono :
$x+y=0, x-y=0$
e le rette passanti per C e parallele agli autovettori ( ovvero gli assi di simmetria) sono le rette di equazioni :
(1) $(x-A/{A-B})+(y+A/{A-B})=0$
(2) $(x-A/{A-B})-(y+A/{A-B})=0$
Ovvero :
(1') $x+y=0$
(2') $x-y={"2A}/{A-B}$
Di esse solo la (1') è elemento di comune simmetria, mentre l'altra dipende dai parametri A e B.
C.V.D.
Per comodità scrivo l'equazione del fascio come segue :
$A(x^2+y^2-2x+2y)+2B(xy)=0$
Il centro C della generica conica del fascio ha coordinate proiettive date da :
$C=(A^2+AB,-A^2-AB,A^2-B^2)$
Se risulta $A^2=B^2$, ovvero se è $B=\+-A$, si hanno le due parabole del fascio di equazioni rispettive:
(1) $(x+y)^2-2(x-y) =0$
(2) $(x-y)(x-y-2)=0$
Come è facile verificare, queste due parabole hanno come comune elemento di simmetria solo la retta di equazione:
$x+y=0$ [che è poi l'asse della parabola (1)]. Dimostro che tale retta è anche l'unico elemento di simmetria comune alle coniche del fascio che sono a centro, quelle cioè per le quali $A^2\ne B^2$. In tal caso si ha :
$C\equiv(A/{A-B},-A/{A-B})$
Ora gli elementi di simmetria comuni alle coniche ( a centro) del fascio sono i due assi ( ed il loro punto comune) ed
è noto che gli assi di una conica sono le rette passanti per il centro e parallele ai due autovettori relativi agli autovalori della forma quadratica associata al fascio.
Per regole note gli autovalori sono dati dall'equazione :
\(\displaystyle det\begin{pmatrix}A-\lambda&B\\B&A-\lambda\end{pmatrix}=0 \)
da cui : $\lambda_{1,2}=A\+-B$
Gli autovettori corrispondenti sono :
$x+y=0, x-y=0$
e le rette passanti per C e parallele agli autovettori ( ovvero gli assi di simmetria) sono le rette di equazioni :
(1) $(x-A/{A-B})+(y+A/{A-B})=0$
(2) $(x-A/{A-B})-(y+A/{A-B})=0$
Ovvero :
(1') $x+y=0$
(2') $x-y={"2A}/{A-B}$
Di esse solo la (1') è elemento di comune simmetria, mentre l'altra dipende dai parametri A e B.
C.V.D.
N.B.
E' la terza ( o la quarta ) volta che invio questa soluzione! Visti i tempi che corrono ( di sopraffazione e di uso...staliniano dei compiti assegnati) per voialtri sarà spontaneo (
) tappare la bocca a chi non la pensa politicamente come voi ma tagliargli anche una risposta di contenuto assolutamente scientifico mi sempre una cosa proprio sporca. Naturalmente non mostrerete questo mio ennesimo post oppure lo coprirete con un ipocrita e giallognolo comunicato. Ci sono molti altri tipi di censura ( e a voi non manca la fantasia in proposito 
) ma sono quasi certo che utilizzerete il primo metodo: è così comodo nascondersi dietro un vigliacco silenzio...Anche a discapito della malcapitata Irene che non saprà mai con chi ha a che fare!
Bravi...
$A(x^2+y^2-2x+2y)+2B(xy)=0$
Il centro C della generica conica del fascio ha coordinate proiettive date da :
$C=(A^2+AB,-A^2-AB,A^2-B^2)$
Se risulta $A^2=B^2$, ovvero se è $B=\+-A$, si hanno le due parabole del fascio di equazioni rispettive:
(1) $(x+y)^2-2(x-y) =0$
(2) $(x-y)(x-y-2)=0$
Come è facile verificare, queste due parabole hanno come comune elemento di simmetria solo la retta di equazione:
$x+y=0$ [che è poi l'asse della parabola (1)]. Dimostro che tale retta è anche l'unico elemento di simmetria comune alle coniche del fascio che sono a centro, quelle cioè per le quali $A^2\ne B^2$. In tal caso si ha :
$C\equiv(A/{A-B},-A/{A-B})$
Ora gli elementi di simmetria comuni alle coniche ( a centro) del fascio sono i due assi ( ed il loro punto comune) ed
è noto che gli assi di una conica sono le rette passanti per il centro e parallele ai due autovettori relativi agli autovalori della forma quadratica associata al fascio.
Per regole note gli autovalori sono dati dall'equazione :
\(\displaystyle det\begin{pmatrix}A-\lambda&B\\B&A-\lambda\end{pmatrix}=0 \)
da cui : $\lambda_{1,2}=A\+-B$
Gli autovettori corrispondenti sono :
$x+y=0, x-y=0$
e le rette passanti per C e parallele agli autovettori ( ovvero gli assi di simmetria) sono le rette di equazioni :
(1) $(x-A/{A-B})+(y+A/{A-B})=0$
(2) $(x-A/{A-B})-(y+A/{A-B})=0$
Ovvero :
(1') $x+y=0$
(2') $x-y={"2A}/{A-B}$
Di esse solo la (1') è elemento di comune simmetria, mentre l'altra dipende dai parametri A e B.
C.V.D.
N.B.
E' la terza ( o la quarta ) volta che invio questa soluzione! Visti i tempi che corrono ( di sopraffazione e di uso...staliniano dei compiti assegnati) per voialtri sarà spontaneo (
) tappare la bocca a chi non la pensa politicamente come voi ma tagliargli anche una risposta di contenuto assolutamente scientifico mi sempre una cosa proprio sporca. Naturalmente non mostrerete questo mio ennesimo post oppure lo coprirete con un ipocrita e giallognolo comunicato. Ci sono molti altri tipi di censura ( e a voi non manca la fantasia in proposito ) ma sono quasi certo che utilizzerete il primo metodo: è così comodo nascondersi dietro un vigliacco silenzio...Anche a discapito della malcapitata Irene che non saprà mai con chi ha a che fare!Bravi...
Per comodità scrivo l'equazione del fascio come segue :
$A(x^2+y^2-2x+2y)+2B(xy)=0$
Il centro C della generica conica del fascio ha coordinate proiettive date da :
$C=(A^2+AB,-A^2-AB,A^2-B^2)$
Se risulta $A^2=B^2$, ovvero se è $B=\+-A$, si hanno le due parabole del fascio di equazioni rispettive:
(1) $(x+y)^2-2(x-y) =0$
(2) $(x-y)(x-y-2)=0$
Come è facile verificare, queste due parabole hanno come comune elemento di simmetria solo la retta di equazione:
$x+y=0$ [che è poi l'asse della parabola (1)]. Dimostro che tale retta è anche l'unico elemento di simmetria comune alle coniche del fascio che sono a centro, quelle cioè per le quali $A^2\ne B^2$. In tal caso si ha :
$C\equiv(A/{A-B},-A/{A-B})$
Ora gli elementi di simmetria comuni alle coniche ( a centro) del fascio sono i due assi ( ed il loro punto comune) ed
è noto che gli assi di una conica sono le rette passanti per il centro e parallele ai due autovettori relativi agli autovalori della forma quadratica associata al fascio.
Per regole note gli autovalori sono dati dall'equazione :
\(\displaystyle det\begin{pmatrix}A-\lambda&B\\B&A-\lambda\end{pmatrix}=0 \)
da cui : $\lambda_{1,2}=A\+-B$
Gli autovettori corrispondenti sono :
$x+y=0, x-y=0$
e le rette passanti per C e parallele agli autovettori ( ovvero gli assi di simmetria) sono le rette di equazioni :
(1) $(x-A/{A-B})+(y+A/{A-B})=0$
(2) $(x-A/{A-B})-(y+A/{A-B})=0$
Ovvero :
(1') $x+y=0$
(2') $x-y={"2A}/{A-B}$
Di esse solo la (1') è elemento di comune simmetria, mentre l'altra dipende dai parametri A e B.
C.V.D.
N.B.
Mi sono sbagliato nel post precedente: è questa la quarta volta che riposto la soluzione del quesito di Irene.
A ben ripensarci credo che la mancata pubblicazione del mio post sia dovuta ad un motivo più prosaico (e molto più squallido) di quello puramente...politico. Vuoi vedere che è anche una questione di gelosia di mestiere ?
$A(x^2+y^2-2x+2y)+2B(xy)=0$
Il centro C della generica conica del fascio ha coordinate proiettive date da :
$C=(A^2+AB,-A^2-AB,A^2-B^2)$
Se risulta $A^2=B^2$, ovvero se è $B=\+-A$, si hanno le due parabole del fascio di equazioni rispettive:
(1) $(x+y)^2-2(x-y) =0$
(2) $(x-y)(x-y-2)=0$
Come è facile verificare, queste due parabole hanno come comune elemento di simmetria solo la retta di equazione:
$x+y=0$ [che è poi l'asse della parabola (1)]. Dimostro che tale retta è anche l'unico elemento di simmetria comune alle coniche del fascio che sono a centro, quelle cioè per le quali $A^2\ne B^2$. In tal caso si ha :
$C\equiv(A/{A-B},-A/{A-B})$
Ora gli elementi di simmetria comuni alle coniche ( a centro) del fascio sono i due assi ( ed il loro punto comune) ed
è noto che gli assi di una conica sono le rette passanti per il centro e parallele ai due autovettori relativi agli autovalori della forma quadratica associata al fascio.
Per regole note gli autovalori sono dati dall'equazione :
\(\displaystyle det\begin{pmatrix}A-\lambda&B\\B&A-\lambda\end{pmatrix}=0 \)
da cui : $\lambda_{1,2}=A\+-B$
Gli autovettori corrispondenti sono :
$x+y=0, x-y=0$
e le rette passanti per C e parallele agli autovettori ( ovvero gli assi di simmetria) sono le rette di equazioni :
(1) $(x-A/{A-B})+(y+A/{A-B})=0$
(2) $(x-A/{A-B})-(y+A/{A-B})=0$
Ovvero :
(1') $x+y=0$
(2') $x-y={"2A}/{A-B}$
Di esse solo la (1') è elemento di comune simmetria, mentre l'altra dipende dai parametri A e B.
C.V.D.
N.B.
Mi sono sbagliato nel post precedente: è questa la quarta volta che riposto la soluzione del quesito di Irene.
A ben ripensarci credo che la mancata pubblicazione del mio post sia dovuta ad un motivo più prosaico (e molto più squallido) di quello puramente...politico. Vuoi vedere che è anche una questione di gelosia di mestiere ?
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