E' da traslare o no la conica??
Mi ritrovo ad dover risolvere questa conica : $ xy-2x-3y+1=0 $
Calcolo il determinante della matrice $ B = ((0,1/2,-1),(1/2,0,-3/2),(-1,-3/2,1)) $ che viene uguale a $ 5/4 $.
Per definizione di non degenere alla conica, il determinante deve essere diverso da zero?
Il determinante della matrice $ A = ((0,1/2),(1/2,0)) = -1/4 < 0 $ quindi la conica è un iperbole.
Il centro sarà dato dal sistema $\{(1/2y=0),(1/2x=0):}$, (passaggio successivo) $\{(y=0),(x=0):}$ e quindi centro $ C=(0,0) $
Ottengo 2 autovalori $ = +- 1/2 $ con relativi autovettori $ V1 = (1,1) , |V1|=sqrt(2) $ e $ V2 = (1,-1) , |V2| = sqrt(2) $
ottenendo
$ ((X),(Y)) = ((1/sqrt2,1/sqrt2),(-1/sqrt2,1/sqrt2)) * ((x),(y)) + ((0),(0)) $
Da qui, c'è traslazione? Secondo me, no, però se applico invece la rotazione, i valori di primo grado di $x$ e $y$ non vanno via e se comunque facessi la traslazione, non cambierebbe niente dato che dovrei fare $\{(x'=x+0),(y'=y+0):}$.
Non riesco proprio a capire la cosa, e cercando su libri e qui in internet non ho trovato naturalmente esercizi simili da potermi aggiustare da solo...
Calcolo il determinante della matrice $ B = ((0,1/2,-1),(1/2,0,-3/2),(-1,-3/2,1)) $ che viene uguale a $ 5/4 $.
Per definizione di non degenere alla conica, il determinante deve essere diverso da zero?
Il determinante della matrice $ A = ((0,1/2),(1/2,0)) = -1/4 < 0 $ quindi la conica è un iperbole.
Il centro sarà dato dal sistema $\{(1/2y=0),(1/2x=0):}$, (passaggio successivo) $\{(y=0),(x=0):}$ e quindi centro $ C=(0,0) $
Ottengo 2 autovalori $ = +- 1/2 $ con relativi autovettori $ V1 = (1,1) , |V1|=sqrt(2) $ e $ V2 = (1,-1) , |V2| = sqrt(2) $
ottenendo
$ ((X),(Y)) = ((1/sqrt2,1/sqrt2),(-1/sqrt2,1/sqrt2)) * ((x),(y)) + ((0),(0)) $
Da qui, c'è traslazione? Secondo me, no, però se applico invece la rotazione, i valori di primo grado di $x$ e $y$ non vanno via e se comunque facessi la traslazione, non cambierebbe niente dato che dovrei fare $\{(x'=x+0),(y'=y+0):}$.
Non riesco proprio a capire la cosa, e cercando su libri e qui in internet non ho trovato naturalmente esercizi simili da potermi aggiustare da solo...
Risposte
il centro non puo essere in $(0,0)$ la conica ha il termine noto quindi non passa per l'origine.
Come puoi ben vedere da questo sito http://www76.wolframalpha.com/input/?i=xy-2x-3y%2B1%3D0
(ti permette di scrivere l'equazione della conica e di visualizzarla) il centro non è in $(0,0)$
Il centro io lo calcolo facendo il prodotto matrice vettore ovvero:
$( ( x^2 , (xy)/2 ),( (xy)/2 , y^2 ) ) * ( ( -x/2 ),( -y/2 ) )$
Infatti il centro esce: $c(3/4,1/2)$
Come puoi anche visualizzare sul sito.
Quindi la conica va ruotata e traslata!
Come puoi ben vedere da questo sito http://www76.wolframalpha.com/input/?i=xy-2x-3y%2B1%3D0
(ti permette di scrivere l'equazione della conica e di visualizzarla) il centro non è in $(0,0)$
Il centro io lo calcolo facendo il prodotto matrice vettore ovvero:
$( ( x^2 , (xy)/2 ),( (xy)/2 , y^2 ) ) * ( ( -x/2 ),( -y/2 ) )$
Infatti il centro esce: $c(3/4,1/2)$
Come puoi anche visualizzare sul sito.
Quindi la conica va ruotata e traslata!
Ah, infatti mi sembrava un pò strano il centro $(0,0)$.
Bello il sito che mi ha linkato, non ne sapevo l'esistenza.
Rivedendo dopo un pò l'esercizio, mi sono accorto che il centro lo calcolavo con la matrice sbagliata, cioè $A=((0,1/2),(1/2,0))$ ma che in realtà la dovevo calcolare con le prime due righe della matrice $B$, cioè le equazioni $0x+1/2y-1=0$ e $1/2x+0y-3/2=0$ e da lì mettendola a sistema trovo le coordinate del centro pari a $C=(3,2)$.
Con il centro da te indicato $(3/4,1/2)$, alla traslazione non si autoeliminavano i valori primo di $x$ e $y$.
Il tuo metodo del prodotto matrice vettore $((x^2,xy/2),(xy/2,y^2))*((-x/2),(-y/2))$ mi sembra assai complicato (ammetto però che non l'ho testato).
Fatto sta che, ammettendo sia giusto, con il centro in $(3,2)$, posso sapere ponendo una volta $x=0$ e $y=0$ all'equazione della curva, che tocca gli assi in $(0,1/3)$ e $(1/2,0)$ e un asse di asintoto è $y=2$ e l'altro è $x=3$ (sono perpendicolari l'uno all'altro).
Ciò mi è confermato dal fatto che nel link, all'altezza dove identifica che conica è, cioè un iperbola, c'è un pulsante proprietà, dove da tutti i dati essenziali della curva. Guarda un pò..
Bello il sito che mi ha linkato, non ne sapevo l'esistenza.
Rivedendo dopo un pò l'esercizio, mi sono accorto che il centro lo calcolavo con la matrice sbagliata, cioè $A=((0,1/2),(1/2,0))$ ma che in realtà la dovevo calcolare con le prime due righe della matrice $B$, cioè le equazioni $0x+1/2y-1=0$ e $1/2x+0y-3/2=0$ e da lì mettendola a sistema trovo le coordinate del centro pari a $C=(3,2)$.
Con il centro da te indicato $(3/4,1/2)$, alla traslazione non si autoeliminavano i valori primo di $x$ e $y$.
Il tuo metodo del prodotto matrice vettore $((x^2,xy/2),(xy/2,y^2))*((-x/2),(-y/2))$ mi sembra assai complicato (ammetto però che non l'ho testato).
Fatto sta che, ammettendo sia giusto, con il centro in $(3,2)$, posso sapere ponendo una volta $x=0$ e $y=0$ all'equazione della curva, che tocca gli assi in $(0,1/3)$ e $(1/2,0)$ e un asse di asintoto è $y=2$ e l'altro è $x=3$ (sono perpendicolari l'uno all'altro).
Ciò mi è confermato dal fatto che nel link, all'altezza dove identifica che conica è, cioè un iperbola, c'è un pulsante proprietà, dove da tutti i dati essenziali della curva. Guarda un pò..
nel calcolo del centro ho fatto un errore io, non va moltiplicato ma $-x/2$ e $-y/2$ diventano i termini noti e poi si calcola il sistema.
Ah, ok, comunque ci si è capiti.
Grazie ancora per il link per visualizzare le coniche!
FB
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FB
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