E' corretto questo esercizio?
Ciao a tutti ! Vorrei per favore, un parere su questo esercizio che ho preso da un compito di geometria 1
Data l'applicazione lineare
$ f : R 2 ---> R 2 $ così definita
$ f(x,y) = (3x+y ,3x + y ) $
1 ) determinare la matriche che rappresenta f rispetto alla base canonica e quella che
la rappresenta rispetto alla base B = ( ( 1,1) , (1, -3) )
2) determinare una base per Kerf e Imf
3) scrivere le equazioni cartesiane del nucleo e dell'immagine.
Ho fatto così
1) Per la matrice associata alla base canonica ho fatto le immagini
f ( 1, 0 ) = (3,3)
f(0,1) = (1,1)
e le ho incolonnate nella matrice
\( A =\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \)
Per la matrice associata alla base B invece ho calcolato le immagini dei vettori della base B e ho
trovato le componenti dei vettori immagine rispetto alla base B . cioè così
f ( 1,1) = (4,4) = a (1,1) + b (1,-3) da cui segue il sistema
\( \begin{cases} a+b=4 \\ a-3b=4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=4 \\ b=0 \end{cases} \)
f ( 1,-3) = (0,0) = a (1,1) + b ( 1, -3) da cui segue il sistema
\( \begin{cases} a+b=0 \\ a-3b=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=0 \\ b=0 \end{cases} \)
Quindi ho messo per colonna i vettori trovando la matrice
\( B = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)
2 ) Ho utilizzato la matrice $ A $ dato che è rappresentata rispetto alla base canonica che è quella più usata
La matrice $ A $ ha rango 1 e quindi la dim Imf = 1 . Imf = < (3,3) > e f non è suriettiva.
Per il kef ho moltiplicato la matrice $ A $ per un generico vettore (x,y) ottenendo il sistema
\( \begin{cases} 3x+y=0 \\ 3x+y=0 \end{cases} \) . Quindi considero solo la prima equazione e ottengo
y = -3x. Da qui segue che il kerf = ( (x, -3x) ) = < ( 1, -3 ) >. quindi f non è iniettiva.
3) Ho considerato un generico elemento (x,y) che sta nel Kerf = < ( 1, -3 ) >. Quindi sarà del tipo
(x,y) = a (1,-3) ---> \( \begin{cases} x=a \\ y=-3a \end{cases} \)
Quindi l'equazione cartesiana del ker è $ y = -3x ---> 3x+y=0 $
Stessa cosa per Immf = < (3,3) >. Preso (x,y) che sta nell'Imf
(x,y) = b (3,3)---> \( \begin{cases} x=3b \\ y=3b \end{cases} \)
Quindi l'equazione cartesiana per ImF è ---->$ x - y =0 $
Volevo sapere se è corretto il modo in cui ho ragionato.
Data l'applicazione lineare
$ f : R 2 ---> R 2 $ così definita
$ f(x,y) = (3x+y ,3x + y ) $
1 ) determinare la matriche che rappresenta f rispetto alla base canonica e quella che
la rappresenta rispetto alla base B = ( ( 1,1) , (1, -3) )
2) determinare una base per Kerf e Imf
3) scrivere le equazioni cartesiane del nucleo e dell'immagine.
Ho fatto così
1) Per la matrice associata alla base canonica ho fatto le immagini
f ( 1, 0 ) = (3,3)
f(0,1) = (1,1)
e le ho incolonnate nella matrice
\( A =\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \)
Per la matrice associata alla base B invece ho calcolato le immagini dei vettori della base B e ho
trovato le componenti dei vettori immagine rispetto alla base B . cioè così
f ( 1,1) = (4,4) = a (1,1) + b (1,-3) da cui segue il sistema
\( \begin{cases} a+b=4 \\ a-3b=4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=4 \\ b=0 \end{cases} \)
f ( 1,-3) = (0,0) = a (1,1) + b ( 1, -3) da cui segue il sistema
\( \begin{cases} a+b=0 \\ a-3b=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=0 \\ b=0 \end{cases} \)
Quindi ho messo per colonna i vettori trovando la matrice
\( B = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)
2 ) Ho utilizzato la matrice $ A $ dato che è rappresentata rispetto alla base canonica che è quella più usata
La matrice $ A $ ha rango 1 e quindi la dim Imf = 1 . Imf = < (3,3) > e f non è suriettiva.
Per il kef ho moltiplicato la matrice $ A $ per un generico vettore (x,y) ottenendo il sistema
\( \begin{cases} 3x+y=0 \\ 3x+y=0 \end{cases} \) . Quindi considero solo la prima equazione e ottengo
y = -3x. Da qui segue che il kerf = ( (x, -3x) ) = < ( 1, -3 ) >. quindi f non è iniettiva.
3) Ho considerato un generico elemento (x,y) che sta nel Kerf = < ( 1, -3 ) >. Quindi sarà del tipo
(x,y) = a (1,-3) ---> \( \begin{cases} x=a \\ y=-3a \end{cases} \)
Quindi l'equazione cartesiana del ker è $ y = -3x ---> 3x+y=0 $
Stessa cosa per Immf = < (3,3) >. Preso (x,y) che sta nell'Imf
(x,y) = b (3,3)---> \( \begin{cases} x=3b \\ y=3b \end{cases} \)
Quindi l'equazione cartesiana per ImF è ---->$ x - y =0 $
Volevo sapere se è corretto il modo in cui ho ragionato.
Risposte
Ciao Marthy 
Ho letto il tuo svolgimento dell'esercizio e mi sembra che non ci siano errori.
Ciao!
Ho letto il tuo svolgimento dell'esercizio e mi sembra che non ci siano errori.
Ciao!
Ok, Peter Pan. grazie 1000 
ciao !
ciao !
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