è abbastanza ovvio che...

[Principe2]

se ho due spazi omeomorfi $X$ e $Y$ e ad entrambi (se possibile) gli tolgo lo
stesso sottospazio $A$ allora ottengo due spazi ancora omeomorfi?

[ficus2002]

"ubermensch":se ho due spazi omeomorfi $X$ e $Y$ e ad entrambi (se possibile) gli tolgo lo
stesso sottospazio $A$ allora ottengo due spazi ancora omeomorfi?

Non capisco se intendi che $A$ sia un sottospazio di entrambe gli spazi $X$ e $Y$ o se a $X$ e $Y$ togli due sottospazi, in generale diversi, ma omeomorfi.
Se ho due spazi $X$ e $Y$ omeomorfi e se a $X$ tolgo il sottospazio $A$ e a $Y$ tolgo il sottospazio $B$, con $A$ e $B$ omeomorfi, sli spazi che ottengo possono non essere omeomorfi: per esempio $X=Y=[0,1]$ sono omeomorfi perchè uguali, se scelgo $A={0}$ e $B={1/2}$, gli spazi $A$ e $B$ sono omeomorfi, ma $X-A$ e $Y-B$ non lo sono.

[Principe2]

esattamente lo stesso: in particolare tolgo sia da $R^n$ che da $R^m$ ($2\len (fissato) di dimensio $n-2$

[ficus2002]

Ma $RR^n$ e $RR^m$ non sono omeomorfi per $n \ne m$... Cmq sospetto che, dati $X$ e $Y$ omeomorfi e $A\subseteq X \cap Y$, allora $X-A$ e $Y-B$ sono omeomorfi se e solo se esiste un omeomorfismo di $X$ in $Y$ che fissa $A$ cioè manda $A$ in $A$ (la condizione è sicuramente sufficiente ma ora non so dirti se è anche necessaria ). In particolare $X-Y$ e $Y-X$ sono omeomorfi.

[Principe2]

lo so... e infatti volevo proporre una dimostrazione di quel fatto che
il prof non ha fatto perchè dice che bisogna usare i gruppi di omotopia
superiori...
già che ci sto la metto..

premessa: se da $R^2$ tolgo un punto allora il gruppo fondamentale
è $Z$, mentre se tolgo un punto da $R^3$ o da $R^m,m>2$ il gruppo
fondamentale è ancora banale in quanto posso muovere un cammino
che passa intorno al punto che ho tolto in un'altra dimensione e poi
ritrarlo al cammino banale.

dimostrazione:
Per assurdo $R^n$ e $R^m$ siano omotopi per $n\nem$ e suppongo $n tolgo da entrambi questi spazi un sottospazio affine di dimensione $n-2$, gli spazi
che ottengo sono ancora omotopi (?!). Ma il gruppo fondamentale del primo non
è banale (ho tolto uno spazio troppo grande: un cammino che gli gira intorno
non riesco a riportarmelo a casa) mentre il gruppo fondamentale del secondo è
banale (passo ad un'altra dimensione). Assurdo per l'invarianza omotopica
del gruppo fondamentale.

cazzata?

[ficus2002]

ma quindi nel primo post volevi scrivere
se ho due spazi omotopi X e Y e ad entrambi (se possibile) gli tolgo lo
stesso sottospazio A allora ottengo due spazi ancora omeotopi?

[Principe2]

infatti volevo "editare", poi ho pensato che due spazi omeomorfi
sono anche omotopi e quindi per quello che mi serviva andava
bene cosi.

che ne pensi della dimostrazione?

[ficus2002]

"ubermensch":che ne pensi della dimostrazione?

L'idea di usare il gruppo fondamentale è giusta, solo che io la sapevo togliendo un pt e retraendo su $S^{m-1}$:
Considero $2 il gruppo fondamentale è banale mentre il gruppo fondamentale di $S^1$ è $ZZ$.

Per il caso generale, ho pensato si potrebbe fare così:
Suppongo $RR^n$ omeomorfo a $RR^m$, con $2\le n

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[Principe2]

mi pare buona..