$(d(x^T*P*x))/dx$?
Perchè $(d(x^T*P*x))/dx=2*x^T*P$ ?
dove x è un vettore nx1, P una matrice nxn.
dove x è un vettore nx1, P una matrice nxn.
Risposte
A me non sono chiare le notazioni... Sono derivate, quelle che hai scritto? Ma... stai derivando rispetto ad un vettore??
T è il trasposto e sto derivando rispetto al vettore!
Secondo me rip vuole calcolare il gradiente di $f(x)=x^TPx$. Ragionando sulle coordinate
$\frac{\partial}{\partial x_i}\sum_{jk}p_{jk}x_jx_k=\sum_{jk}\frac{\partial}{\partial x_i}p_{jk}x_jx_k=\sum_{jk}p_{jk}\delta_{ij}x_k+\sum_{jk}p_{jk}x_j\delta_{ik}=\sum_{k}p_{ik}x_k+\sum_{k}p_{ji}x_j$
In altre parole il gradiente di $f$ vale $P^Tx+Px$ che diventa $2Px$ SE $P$ E' SIMMETRICA.
Non capisco il trasposto sulla $x$ - i vettori non sono tradizionalmente in colonna ? O forse il $\frac{d}{dx}$ è il differenziale e non il
gradiente (comunque i calcoli sono quelli).
Naturalmente si può anche fare in maniera intrinseca: se $f(x)= Lx\cdot x$, dove $L$ è lineare e "$\cdot$" è il prodotto scalare, allora
è facile calcolare il differenziale di $f$:
$df(x)h=\frac{d}{dt}f(x+th)|_{t=0}=Lx\cdot h+Lh\cdot x$,
da cui lo stesso risultato di prima.
$\frac{\partial}{\partial x_i}\sum_{jk}p_{jk}x_jx_k=\sum_{jk}\frac{\partial}{\partial x_i}p_{jk}x_jx_k=\sum_{jk}p_{jk}\delta_{ij}x_k+\sum_{jk}p_{jk}x_j\delta_{ik}=\sum_{k}p_{ik}x_k+\sum_{k}p_{ji}x_j$
In altre parole il gradiente di $f$ vale $P^Tx+Px$ che diventa $2Px$ SE $P$ E' SIMMETRICA.
Non capisco il trasposto sulla $x$ - i vettori non sono tradizionalmente in colonna ? O forse il $\frac{d}{dx}$ è il differenziale e non il
gradiente (comunque i calcoli sono quelli).
Naturalmente si può anche fare in maniera intrinseca: se $f(x)= Lx\cdot x$, dove $L$ è lineare e "$\cdot$" è il prodotto scalare, allora
è facile calcolare il differenziale di $f$:
$df(x)h=\frac{d}{dt}f(x+th)|_{t=0}=Lx\cdot h+Lh\cdot x$,
da cui lo stesso risultato di prima.
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