Due (semplici) questioni di geometria differenziale
Cari tutti,
sono ai primi passi nello studio della geometria differenziale e ho subito qualche problema. Di vario genere (pian piano, forse, ve li proporrò tutti), però oggi vorrei partire da un paio di esercizi che il mio libro di testo (Manfredo Do Carmo) propone all'interno del primo capitolo.
Uno l'ho risolto io ma non ho la certezza matematica che sia giusto, sul secondo non riesco tanto a metterci mano, forse per qualche ragnatela regressa sul calcolo vettoriale. Comunque, bando alle ciance:
1) Find a parametrized curve $alpha (t) $ whose trace is the circle $x^2 + y^2 = 1$ such that $alpha (t) $ runs clockwise around the circle with $alpha (t) = (0,1)$
La mia soluzione è $alpha (t) = (sin t, cos t) | t \in [0, 2pi]$ E' giusto?
2) Let $alpha (t) : I \rightarrow R^3 $ be a parametrized curve and let $v \in R^3 $ a fixed vector. Assume that $alpha ' (t) $ is orthogonal to $v$ for all $t \in I $ and that $alpha (0) $ is also orthogonal to $v$. Prove that $alpha (t) $ is orthogonal to $v$ for all $t \in I $
Qui avrei bisogno di un piccolo reindirizzamento
Grazie in anticipo
sono ai primi passi nello studio della geometria differenziale e ho subito qualche problema. Di vario genere (pian piano, forse, ve li proporrò tutti), però oggi vorrei partire da un paio di esercizi che il mio libro di testo (Manfredo Do Carmo) propone all'interno del primo capitolo.
Uno l'ho risolto io ma non ho la certezza matematica che sia giusto, sul secondo non riesco tanto a metterci mano, forse per qualche ragnatela regressa sul calcolo vettoriale. Comunque, bando alle ciance:
1) Find a parametrized curve $alpha (t) $ whose trace is the circle $x^2 + y^2 = 1$ such that $alpha (t) $ runs clockwise around the circle with $alpha (t) = (0,1)$
La mia soluzione è $alpha (t) = (sin t, cos t) | t \in [0, 2pi]$ E' giusto?
2) Let $alpha (t) : I \rightarrow R^3 $ be a parametrized curve and let $v \in R^3 $ a fixed vector. Assume that $alpha ' (t) $ is orthogonal to $v$ for all $t \in I $ and that $alpha (0) $ is also orthogonal to $v$. Prove that $alpha (t) $ is orthogonal to $v$ for all $t \in I $
Qui avrei bisogno di un piccolo reindirizzamento
Grazie in anticipo
Risposte
1) ok
2) Direi di sviluppare $alpha(t)$ con il polinomio di Taylor di ordine $0$ e resto di Lagrange di ordine $1$.
2) Direi di sviluppare $alpha(t)$ con il polinomio di Taylor di ordine $0$ e resto di Lagrange di ordine $1$.
Grazie per la dritta! 
Non avevo minimamente pensato ad uno sviluppo in serie!
Non avevo minimamente pensato ad uno sviluppo in serie!
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