Due rette, e distanza dall'origine

[indovina]

Ho fatto oggi questo esercizio, ve lo posto con i miei ragionamenti, vorrei sapere se ci sono o meno errori.

le rette sono:
$r$:
${(x+y-1=0),(2x-z=0)}$
$s$:
$x=y=z$

devo dire se sono parallele o sghembe:
vedo i loro vettori direttori che sono:
$V_r(-1;1;-2)$
$V_s(1;1;1)$
sono sghembe.

Trovare la distanza di $r$ dall'origine.
Io l'ho pensato così:
prendo il vettore direttore di $r$ e trovo un piano perpendicolare a $r$ passante per un punto $P(x_0:y_0;z_0)$
questo è il piano:
$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$
dove $a,b,c=-1,1,-2$
poi $P(3,-3,6)$
il piano è questo:
$x-y+2z-18=0$

prendo la formula della distanza
e viene $d=3sqrt(6)$

vi trovate?

[cirasa]

"clever":
devo dire se sono parallele o sghembe:
vedo i loro vettori direttori che sono:
$V_r(-1;1;-2)$
$V_s(1;1;1)$
sono sghembe.

Il fatto che i due vettori direttori non sono paralleli ti dice solo che le due rette non sono parallele e non che sono sghembe.
Due rette sono sghembe se non sono parallele e se non si intersecano.
Devi provare anche che le due rette non si intersecano (basta far vedere che il sistema formato dalle equazioni delle due rette è incompatibile).

"clever":Trovare la distanza di $r$ dall'origine.

Calcola il piano passante per l'origine $O$ (cioè $x_0=0$, $y_0=0$, $z_0=0$) e perpendicolare alla retta $r$.
Ottieni il piano $alpha$ di equazione $-x+y-2z=0$
Interseca $alpha$ con $r$ (devi mettere a sistema le equazioni di $r$ con l'equazione di $alpha$) ottenendo il punto $P$.
La distanza cercata è la distanza di $O$ da $P$.

[indovina]

Allora io faccio cosi, puoi controllare se ora va bene?

per le rette sghembe la matrice associata al sistema è:
$((1,1,0,-1),(2,0,-1,0),(1,-1,0,0),(0,1,-1,0))$

che diventa $((2,0,-1),(1,-1,0),(0,1,-1))$
il cui determinante è $1$ diverso da $0$ dunque le rette sono sghembe


per la seconda parte
intersecando:
${(-x+y-2z=0);(x+y-1=0);(2x-z=0)}
viene che il punto $P(1/6;5/6;3)$
tuttavia la distanza è:
$d(0,P)=sqrt((1/6)^2+(5/6)^2+(3)^2)=(5/3)*sqrt(7/2)$

[cirasa]

La prima parte ti dice che il sistema è incompatibile, cioè che la due rette non si intersecano.

"clever":per la seconda parte
intersecando:
${(-x+y-2z=0);(x+y-1=0);(2x-z=0)}
viene che il punto $P(1/6;5/6;3)$

Penso che tu abbia sbagliato i calcoli. Il punto $P$ che hai trovato non appartiene all'intersezione.
Rifai i conti!